Академия наук республики узбекистан

Метод LMTO - метод аппроксимации атомных сфер.
В атомно–сферическом приближении (ASA) метода LMTO объем muttin – tin сферы равняется объему атома. Это означает, что радиус S muttin – tin сферы равен радиусу Вигнера – Зейтца , где общий объём одного атома равно . В приближении ASA потенциал считается сферически симметричным внутри каждой muttin – tin сферы и кинетическая энергия базисных функций снаружи области имеет постоянное значение, обычно равное нулю в вычислениях. Благодаря линейности метода, энергозависимые члены уравнения в muttin – tin сфере заменяются независимыми от энергий функциями. Эта функция находится как комбинация радиальных функций и их производных по энергии
(2.14)
здесь – логарифмическая начальная функция. Благодаря зависимости орбитали определённые в уравнения (2.9) дифференцируемы внутри сферы S и становятся зависящими от энергии. Граничное условие определяется как . Полученные таким образом независящие от энергии орбитали определяются как:

Полно – потенциальный метод LMTO (FP - LMTO )

Метод FP – LMTO является полноэлектронным и релятивистским независимо от плотности заряда и потенциала. В FP – LMTO методе кристалл делится на неприкрывающиеся сферы и на область вне этой сферы. Волновые функции этих областей являются разными. Внутри muttin – tin сферы волновая функция определяется как в методе LMTO - ASA, т.е. как Блоховская сумма линейных muttin – tin орбиталей, расширенных структурными константами и .

В отличие от ASA, где энергия в наружной области сферы равна нулю, здесь кинетическая энергия непостоянна. Для простоты здесь мы рассмотрим только одноатомные твердые тела и опустим нижний индекс.
Теперь muttin – tin орбитали, зависящие от вектора , могут быть написаны как:


(2.15)

где
(2.16)

и
(2.17)
Внутри muttin – tin сферы электронную плотность и потенциал сферической гармоник можно описать радиальной функцией
(2.18)
(2.19)
где D_h - линейная комбинация сферической гармоники . D_h выбирается инвариантной относительно локальных точечных групп атомного остова, находящихся в muttin – tin сфере. Коэффициенты и являются числовыми функциями, полученными от радиальной петли. Вне области сферы базисные функции, плотности заряда и потенциал выражаются как серии Фоурера:
(2.20)
(2.21)
(2.22)
где G - взаимный фактор решетки, определённый в пространстве Фаурера.
Базисная система
Упрощенные функции образуют подходящий базис в наружной области. Выбирая упрощенные функции в формах: плоской волны, гауссианом или сферической волной, можно использовать различные методы вычисления зонной структуры (LAWP, LCAO, LMTO и др.). В методе LMTO приближенная функция выбирается в виде
(2.23)
где - сферические функции Неймана, – сферические функции Ганкеля первого рода. Упрощенные функции являются сингулярными функциям Ганкеля и Неймана по отношению к кинетической энергии. Это вводит зависимость от базисных функций внутри muttin – tin сферы посредством математического описания условий на границе сферы. Используемый вариационный метод, в основном состояние имеет несколько базисных функций с одинаковыми квантовыми числами n, l, и m, но с различными . Это приближение называется двойным базисным приближением.
Иногда базис содержит различные базисные системы, соответствующие атомному квантовому числу , но различным квантовым числам n. Базис построенный таким путем образует гибридную базисную систему, что лучше, чем смещенные энергетические состояния.
Чтобы показать путь создания базисных функций, мы используем для Ge [64] например, простое приближение, использованное в работе [65]. Конфигурацей основного состояния Gе является . Таким образом, мы включим в валентный комплекс и электроны. Сужая область вычислений в границе сферы, область состояний 5 s и 5p будет представляться как одна зона. Таким образом, получим полную базисную систему.