Adabiyotlar Tao T. Analysis Hindustan Book Agency, India, 2014. Canuto C., Tabacco A

7-ta’rif. ([2], p. 82, Def. 3.22) Agar

bo‘lsa, son funksiyaning nuqtadagi chap limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan, nuqta ning o‘ng limit nuqtasi bo‘lib,

bo‘lsin.
8-ta’rif. ([2], p. 82, Def. 3.22) Agar

bo‘lsa, son funksiyaning nuqtadagi o‘ng limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
Masalan,

funksiyaning 0 nuqtadagi o‘ng limiti 1, chap limiti –1 bo‘ladi.

3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta ning limit nuqtasi bo‘lsin.
1-xossa. ([2], p. 89, Th. 4.1) Agar da funksiya limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.
◄ Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik limitining yagonaligidan kelib chiqadi. ►
2-xossa. Agar
, ( – chekli son)
bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda funksiya chegaralangan bo‘ladi.
◄Aytaylik,

bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifga binoan
da
ya’ni bo‘ladi. Keyingi tengsizliklardan funksiyaning nuqtaning atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi. ►
3-xossa. ([2], p. 90, Th. 4.2) Agar

bo‘lib, bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda

bo‘ladi. ◄ Shartga ko‘ra
.
Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra uchun shunday son topiladiki, , , uchun

bo‘ladi. Bu esa da bo‘lishini bildiradi. ►
Faraz qilaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
4-xossa. ([2], p. 92, Corollary 4.4) Agar
,
bo‘lib, da tengsizlik bajarilsa, u holda , ya’ni

bo‘ladi.
◄ Aytaylik, ,
bo‘lsin.
Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra ga intiluvchi ixtiyoriy

ketma-ketlik uchun

da ,

(1)

bo‘ladi. Ravshanki, da

(2)

Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2) munosabatlardan , ya’ni bo‘lishini topamiz. ►
5-xossa. ([1], p. 223, Prop. 9.3.14) Faraz qilaylik,
,
limitlar mavjud bo‘lsin. U holda
a) da ;
b)
v)
g) Agar bo‘lsa, ;
bo‘ladi.
Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar bajarilishi haqidagi ma’lumotlardan kelib chiqadi.