Adabiyotlar Tao T. Analysis Hindustan Book Agency, India, 2014. Canuto C., Tabacco A

1-teorema. Agar nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsa, u holda nuqtaning har qanday

atrofida to‘plamning cheksiz ko‘p nuqtalari bo‘ladi.
◄ Aytaylik, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. Teorema tasdig‘ining teskarisini faraz qilaylik: nuqtaning biror atrofida to‘plamning chekli sondagi nuqtalarigina bo‘lsin. U holda

deb olinsa, nuqtaning atrofida to‘plamning dan farqli bitta ham nuqtasi bo‘lmaydi. Bu esa nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lishiga ziddir. ►
2-teorema. ([1], p. 216, Th. 9.1.24) Agar nuqta to‘plamning limit nuqta-si bo‘lsa, u holda shunday sonlar ketma-ketligi topiladiki,
1)  da , ;
2)  da ;
bo‘ladi.
◄ Aytaylik, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. Unda 1-ta’rifga binoan

bo‘ladi. Jumladan,
uchun ,
uchun
uchun
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
uchun
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
bo‘ladi.
Natijada qaralayotgan teoremaning 1) shartini qanoatlantiruvchi ketma-ketlik hosil bo‘lib, uning uchun da tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Keyingi munosabatdan esa da kelib chiqadi. ►
Shuni ta’kidlash lozimki, 2-teoremaning shartlarini qanoatlantiruvchi ketma-ketliklar ko‘plab topiladi.

2. Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plam-ning limit nuqtasi bo‘lsin. nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy :

ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat :

ketma-ketlikni hosil qilamiz.