Adabiyotlar Tao T. Analysis Hindustan Book Agency, India, 2014. Canuto C., Tabacco A

3-ta’rif. (Geyne). Agar da bo‘ladigan ixtiyoriy ketma-ketlik uchun da bo‘lsa, ga funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi va da yoki

kabi belgilanadi.
Eslatma. Agar da
va
bo‘ladigan turli , ketma-ketliklar uchun da , bo‘lib, bo‘lsa funksiya da limitga ega emas deyiladi.
1-misol. Ushbu

funksiyaning nuqtadagi limiti topilsin.
◄ Quyidagi :

ketma-ketlikni olaylik. Unda

bo‘lib, da bo‘ladi. Demak,
►
2-misol. Ushbu

funksiyaning dagi limiti mavjud bo‘lmasligi ko‘rsatilsin.
◄ Ravshanki, da

bo‘ladi.
Bu ketma-ketliklar uchun
,
bo‘lib, da
,
bo‘ladi. Demak, berilgan funksiya nuqtada limitga ega emas. ►
4-ta’rif. (Koshi). ([1], p. 221, Def. 9.3.6) Agar son olinganda ham shunday topilsaki, uchun

tengsizlik bajarilsa, soni funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi:
.
Bu ta’rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:
, , :
bo‘lsa, .
3-misol.  bo‘lsin. Bu funksiya uchun

bo‘ladi.
4-misol. Ushbu funksiyaning nuqtadagi limiti 2 ga teng ekani ko‘rsatilsin.
◄ soniga ko‘ra deb olsak, u holda tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy da

bo‘ladi. Demak, ►
5-misol. Faraz qilaylik, da bo‘lsin. Bu funksiya uchun

bo‘ladi.
◄Ma’lumki, uchun

bo‘ladi. Bu tengsizliklardan, funksiyalarning juftligini hisobga olib, da

bo‘lishini topamiz. Keyingi tengsizliklardan esa

bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi ni olib, deyilsa, unda , , uchun

bo‘ladi. Demak,
. ►
6-misol. Ushbu
, , ,
funksiya uchun

bo‘lishi isbotlansin.
◄  bo‘lgan holni qaraylik. Bu holda funksiya qat’iy o‘suvchi bo‘ladi:
.
sonni olaylik. Ma’lumki, da

bo‘lib, ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan


bo‘ladi. Endi deyilsa, unda

bo‘lganda

bo‘ladi. Demak, .
bo‘lganda bo‘lishini isbotlash o‘quvchiga havola etiladi. ►