А. А. Самарский, А. В. Гулин

§ 4. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений
I. Сетки и сеточные функции. 
Для численного решения диффе­
ренциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, 
часто применяется метод сеток или 
разностный метод.
В настоя­
щем параграфе поясняются основные идеи разностного метода на 
самых простых примерах. Систематическое изложение теории раз­
ностных методов содержится в ч. III (см. также [32]).
Сеткой
на отрезке [а, 
Ь]
называется любое конечное множест­
во точек этого отрезка. Функция, определенная в точках сетки, на­
зывается 
сеточной функцией.
Будем обозначать через 
сетку, 
удовлетворяющую условиям
a = xa< x i< x 2< - - - < x N- i< x N = b,
(1)
и через 
f i —
значение сеточной функции 
f ( x )
в точке х,е(о№, т. е. 
f i = f ( X i ) .
Точки 
называются 
узлами сетки a N. Равномерной
сеткой
на 
[а, Ь]
называется множество точек
(йн= 
{Xi
= a+ih,
i = 0, 1, . . . ,
N},
(2)
где 
h= (b
—
a) IN
— 
шаг сетки.
Рассмотрим задачу о приближенном вычислении производных 
функции 
и ( х ) ,
определенной и непрерывной на отрезке [а, 
Ь ] .
Бу­
дем считать, что 
и ( х )
обладает необходимой по ходу изложения 
гладкостью. Введем согласно (2) сетку «ц и обозначим
щ = и (х1), и- . =
(щ — Ui-J/h,
u x , i 
= (ut+1 — 
U i) / h , 
и 0 = ( u ifl — ui- 1)l(2h).
x , i
Выписанные здесь разностные отношения называются, соответ­
ственно, 
левой, правой
и 
центральной разностными производными
функции и(х) в точке х = х{.
Если точка 
х{
фиксирована, а шаг 
h
стремится к нулю (при этом i-»-oo), то каждое из упомянутых раз­
ностных отношений стремится к значению производной функции 
и(х)
в точке 
X i .
Поэтому в качестве приближенного значения 
и'(х)
можно взять любое из этих разностных отношений.
Нетрудно получить выражение для погрешности, возникающей 
при замене дифференциального выражения разностным. Рассмот­
рим, например, левую разностную производную в точке 
х = х{
и 
запишем ее в виде