|
i =
1 ,
2 ,
. . . ,
N —
1 ,
U o =
P i ,
V s = y 2,
( 1 7 )
w x x , i —
—
/ / >
/
=
1
.
2
,
. . . .
T V —
1 ,
W 0 = WN =
0 .
( 1 8 )
(19)
37
Найдем явное выражение для
w{.
Для этого перепишем урав
нение (18) в виде
“Ъ./« — “£./
= — hfi,
j —
1 ,2 .........
N
— 1,
и просуммируем по / от 1 до
k.
Тогда получим
КУ'
hfi
или
k
Wk^ — Wk — hw
-д —
h
2
M i ,
k = l,2 ,
—
1.
/=i
Суммируя последнее уравнение no
k
от 1 до t—1 и учитывая, что
О>о = 0, получим
1 - 1
ft
га>; =
ihw-tl
— 2 й 2
hh-
*=i /=i
Отсюда и из условия
wN = 0
находим
Л ' - 1
ft
^ .
1 = 7 3 7
2 ^ 2
следовательно,
Л —1
&=
l
/=i
k
— 2 ft 2 ft//- 2 ^ 2
hh
> 1-==2- 3- •
•
•
-
^20)
ft=l
/ =1
ft=l
; =1
^
=
7
^
2
А 2 V / -
*=i /=i
Формула (20) является разностным аналогом формулы (13).
3. Некоторые разностные тождества. Для сеточных функций
выполняются разностные аналоги некоторых формул дифференци
ального и интегрального исчисления. Для простоты изложения
будем рассматривать равномерную сетку (2). Разностными ана
логами формулы дифференцирования произведения
(uv)' = u'v+
+uv'
являются тождества
(yvk i = y ‘vx,i + v^x.i>
(yv)x,i
=
ycvx,c
+
y x,iVC+1.
(21)
Суммируя (21) по
i
от 1 до
N
—1, получим
N —l
N
- 1
yNVN
— г/Л =
2
Ь у р х л
+
2
h y
x-iVc+1
i = l
£=1
или
N
- 1
N
2
h y iV X'i
= —
2
h y x ,iVi
+ y va.v —
y tVt.
38
Учитывая, что
УгЩ
=
Щ (у, — у о)
+
г\уй
=
hv1y - 1
+ Ojr/o,
получим
N
- 1
N
2
hyiVX'i
= — 2
flV^x,C
+
— Уои1■
4 = 1
4 = 1
Обозначая
JV-i
(w,
2
) = 2
hWiZ:<
(
22
)
N
(w, z\
= 2
hw&’
4 = 1
перепишем последнее тождество в виде
{у,
Vx )
=
—
(V,
у-]
+
yNvN — y0vt .
(23)
Тождество (23) является разностным аналогом формулы инте
грирования по частям
ь
ь
^
у (х) v' (х) dx = — \j v (х) у ’
(.V)
dx + y (b) v(b) — y (a) v
(а)
а
а
и называется
формулой суммирования по частям.
4.
Разностная задача на собственные значения. Задача на соб
ственные значения
и" (х)+ки(х)
= 0,
a
u (a )= u (b )= Q
(24)
имеет решение
~
(~Ь~а
)
’
U* M = sin
nk (х
—
а)
k = l , 2,
Рассмотрим на равномерной сетке (2) разностный аналог за
дачи (24),
У1-1-2 У, + У^ + хМу. = 0'
/ = i , 2, . .
j
V — 1,
(25)
Л2
Уо = г/* = 0,
hN = b—a
,
y}=y(Xj)t x ^ a + j h .
Система уравнений (25) представляет собой задачу на собствен
ные значения
A y = l m y
для симметричной матрицы
~~
2 —1
0
0 ...
0
0
о-
—1
2 —I
о ...
0
0
0
А =
0 — 1
2 —1 ...
0
0
0
0
0
0
0 ...
—1
2 —1
_ 0
0
0
0 ...
0 -1
2_
39
порядка
N
—1. Поэтому существует ровно У—1 вещественных соб
ственных значений
k = \ ,
2, . . . .
N— l,
матрицы
А.
Построим
в явном виде собственные значения и собственные функции зада
чи (25).
Перепишем разностное уравнение (25) в виде
Pi-i— (2—ц)г/;+г/3+1 = 0,
\i = h2Xm ,
(26)
и рассмотрим отвечающее (26) характеристическое уравнение
р2- ( 2 - р )
< 7+1= 0.
(27)
Общее решение уравнения (26) имеет вид
У/ = С1Й{
+ с2
Я'2,
(28)
где
с
,_
— произвольные постоянные и
qu q2
— корни уравнения
(27). Из граничных условий
y a = yN = 0
получаем
Ci + с2 = 0,
ctf*
+
с
2<
7
^ = 0.
Эта однородная система уравнений имеет нетривиальное реше
ние при условии
Учитывая, что
qiq2 =
1, приходим к условию
<7^ = 1.
(29)
Отсюда, представляя р, в тригонометрической форме
получим р=1 и
Pi = ре’\
к = \ ,
2,
,
N -
1.
(30)
С другой стороны, из уравнения (27) имеем
"‘ =
1
—
7
+ /(‘
следовательно,
и из (30) получим
р = 2(1
cos <р= 1—0,5ц,
— cos ф) = 4 sin2 — = 4 sin2 — .
2
2
N
Таким образом, собственные числа задачи (25) имеют вид
4 'г) = — sin2 — ,
k = \ ,2 , . . N
— 1,
(31)
h2
2N
где
hN — b
—
а.
Собственные функции
у,
вычисляются согласно (28), где с2 =
= —
Ci.
Так как р!р2= 1, то
У! = (Ч[ — Я[)
= С
(q[
—
crj)
= Ci
(еЧ* — e~ ^)f
40
(32)
где ф определено согласно (30). Полагая
ct =
—0,5/, получим
yW
= sin
nkj
k, j — 1,2,
. . . .
N
— 1.
Собственные функции (32) определены с точностью до произволь
ного постоянного (не за
висящего от /) множителя.
Интересно сопоставить
решения дифференциаль
ной (24) и разностной
(25) задач на собствен
ные значения. Значения
собственных функций (32)
разностной задачи совпа
дают в точках сетки со
значениями собственных
функций дифференциаль
ной задачи. Спектр диф
ференциальной задачи не
ограничен, т. е.
%к-уоо
при
в то время как спектр разностной
задачи ограничен сверху при каждом фиксированном шаге
h
числом
4/ г 2. Для каждого фиксированного номера
k ^ k a,
где
ka
не зависит
от
h,
собственные значения ?4Л) разностной задачи сходятся при
h-+
0 к соответствующему собственному значению
Хк
дифференци
альной задачи, т. е.
Рис. 3. Собственные значения дифференциаль
ной задачи (сплошная черта) и разностной
схемы
l i m — s i n 2
й-»о
№
n k h
2 (ft —
а)
= Яь
При этом собственные значения разностной задачи (25) всегда
меньше соответствующих собственных значений дифференциаль
ной задачи (24). Погрешность
l h—'k<
k )
минимальна для малых но
меров
k
и сильно возрастает с ростом
k.
На рис. 3 изображены гра
фики
%к
(сплошная черта) и
№
в зависимости от номера
k
для
значений а = 0,
b=
1,
N =
25 и
N =
50.
5.
Свойства собственных значений и собственных функций.
Перечислим свойства собственных значений и собственных функ
ций разностной задачи (25). Прежде всего из (31) видно, что
0 <
< . . . <
4 г)
< A $ i< . . . <
MU <
4 - .
h*
Последнее неравенство неулучшаемо, так как
A / V - i
= — cos^
n h
2 ( 6 -
а)
И
COS2
n h
.
------------ >■ 1
2
( b
—
а )
при /i->-0. Оценку снизу для наименьшего
41
собственного значения Я, можно
уточнить. Обозначая а =
= nh/(2(b
—
а)),
получим
л (М_л
—
• Aj
где
2
— наименьшее собственное значение дифферен
циальной задачи. Не ограничивая общности, можно предположить,
что
h ^ . ( b
—
а )/
3. Тогда а ^ я / б , и поскольку функция sinct/ct мо
нотонно убывает при а е [ 0 , я/6], получим
s i n « \ 2 ^ М 6 \ 2 ___9_
а
/ ^ \ 2 л j
л 2 '
;.[Л) 5>9/(Ь — а)2.
(33)
Таким образом, наименьшее собственное значение задачи (25)
отделено от нуля константой = 9
/(b
—а )2, не зависящей от
h.
Покажем теперь, что собственные функции (32) задачи (25),
отвечающие различным собственным значениям, ортогональны в
смысле скалярного произведения
w-i
(и, v)
= ^
uivih-
(34)
/=i
Запишем уравнение (25) для функций
у т
и
у {1)
в виде
„(*>
I
__п
У хх.,+ ХьУ1
= U>
„(О
_п
Ухх,,- +
у
/ =
(Л) „(О
(35)
(36)
Умножим уравнение (35) скалярно на
у {1),
уравнение (36) —
на
у (к)
и вычтем из первого полученного равенства второе. Тогда
будем иметь
(yfx, у{1)) - (У?х, У{к)) = Q-ih) - W ) {У{к\ У
{1))•
(37)
Из разностного аналога формулы интегрирования по частям (23),
учитывая условия
yW = yW
= 0, получим
и точно так же
в & л = - < е » п
,(0 „(«1
■ f t M l
Следовательно, левая часть равенства (37) обращается в нуль,
и поскольку
ЦМфХМ
при
кф1,
получаем
(
у
т ,
у (1)) =
0, если
кф1.
Множество функций
У = (Уо,
У и У г , - . . , Ух- и Ух), yj = y(Xj ),
заданных на сетке (2) и удовлетворяющих нулевым граничным
42
условиям
Уа = Уп — 0,
образует (
N
— 1)-мерное линейное пространст
во
Н
относительно покоординатного сложения и умножения на
число. Собственные функции
у ш , k = \ ,
2,
N
— 1, задачи (25)
ортогональны и, следовательно, линейно независимы в
Н.
Тем са
мым множество собственных функций задачи (25) образует орто
гональный базис в
Н.
Нетрудно показать, что
\ yM f = 2 h ( y f ) * = 0 , b ( b - a )
/=i
для всех
k = \ , 2,
. . . ,
N—
1. Следовательно, множество собственных
функций p (ft),
k =
1, 2 ,... , с координатами
P f
=
У ——
sin
~
,
/ '= 1 , 2 , . . . .
N —
1,
1
1
Do'stlaringiz bilan baham: |
