А. А. Самарский, А. В. Гулин

(tij — uhl)
+ (Р/ — р/_,) 
(vf
— 
vh l)
= — — . 
(52)
а /
Поскольку индекс / произволен, уравнение (49) 
сать в виде
( a —aj-OUj+dij—р,-_,)^ = 0.
Решая систему уравнений (52), (53), получим
°/ 
h
Р/ Р
/-1
—
viui - i ~ uivi-i ai
можно перепи-
(53)
(54)
Знаменатель полученных выражений совпадает с определите­
лем 
o
J
j
- J
k
, 
у
] (
см
. (28)) и согласно лемме 2 не обращается в нуль 
ни в одной точке /. В результате суммирования каждого из урав­
нений (54) получим
ai
— а о +
I
2
k=\ vkuk~i-
■ubv
kuk
-1
A
ak '
Pi
= Po +
l
2
vkuk-i 
ukvk~i
I I
ч
‘
Подставляя найденные выражения для 
ajy
р;- в формулу (47), 
получаем общее решение неоднородного уравнения (37) в виде
У
/ = «
0
« / + Ро-’/ + 2 '
* = 1
к
“*-i уй-1
(55)
где а 0, ро — произвольные постоянные и 
щ,
щ — линейно независи­
мые решения однородного уравнения (38).
Отметим, что сумма
Zj = a aUj+p0Vj
является общим решением однородного уравнения (38), а сумма
у / = 2 -
/
2 = 1
“/ 
vi
“ Л - 1
и Л - 1
4
(56)
2 А. А. Самарский, А. В. Гулин
33

---

— частным решением неоднородного уравнения (37), соответству­
ющим значениям а 0 = Ро = 0. Следовательно, функция (55) являет­
ся общим решением неоднородного уравнения (37).
В заключение параграфа отметим, что многие понятия и резуль­
таты, относящиеся к разностным уравнениям второго порядка, 
можно обобщить и на разностные уравнения произвольного по­
рядка (см., например, [35]).