А. А. Самарский, А. В. Гулин

_
и(х) — и( х — h)
x . i
h
34

---

По формуле Тейлора получим
h2
и
(.v — 
h) = и (х)
— 
ha' (х)
+ —
и"
(£), 
£ ТЕ 
(х
— 
h, х),
следовательно,
- у
(3)
Погрешность и -г—
и'(х{),
возникающая при замене дифферен­
циального выражения 
и'(х)
разностным выражением 
их ,,
назы­
вается 
погрешностью аппроксимации.
Из разложения (3) видно, 
что погрешность аппроксимации является величиной 
0 (h)
при 
h-*-
0. В этом случае говорят, что имеет место 
аппроксимация пер­
вого порядка.
Приведем разложения, аналогичные (3), для других разност­
ных отношений:
и
х,1
 = и’ (хс)
 + А
и
" Й 1’), 
d-1’ <= (*i, */«). 
(4)
и * = и ’
 (X,-) +
~ и "
 (£?’), 
£?’ е
(хс- и x Ul).
 
(5)
X,1
 
О
Из разложения (5) видно, что центральная разностная произ­
водная аппроксимирует 
и ' ( х )
со вторым порядком и, следователь­
но, является более точным приближением к 
и ' ( х ) ,
чем левая или 
правая разностные производные. В дальнейшем наряду с (3) — 
(5) будем использовать менее детальную запись тех же разложе­
ний, а именно
ux,c — ui
+
°Ф)> и*л = ui
+
0(h), и*
, = ы' + О (/а2).
Вторую производную 
и" (х)
можно приближенно заменить в 
точке 
второй разностной производной
-2и,
А2
(6)
Разложение по формуле Тейлора приводит к следующему вы­
ражению для погрешности:
Ub:ii- U"(X‘> = ~ U
IV
(W.
(7)
т. е. имеет место аппроксимация второго порядка.
Мы привели простейшие примеры аппроксимации дифференци­
альных выражений разностными на равномерной сетке. В общем 
случае погрешность, возникающая в результате замены дифферен­
циального выражения разностным, зависит как от распределения 
узлов сетки, так и от гладкости функции.
2. Разностная краевая задача. Первая краевая задача для 
уравнения
u " ( x ) = —f(x)
(8)
состоит в отыскании функции 
и(х),
дважды непрерывно диффе­
2*
35

---

ренцируемой на интервале 
(а, Ь),
непрерывной на отрезке 
[а,
6], 
удовлетворяющей уравнению (8) при ^ е ( а ,
Ь)
и дополнительным 
условиям
ы(а)=р,1, ы (Ь )= ц 2, 
(9)
где pit, |i2 — заданные числа.