А. А. Самарский, А. В. Гулин

: : 2
У
к1
 
2
0.п.,п—
кУк,
k=i 
k=i
где 
yk= qhyk.
Поэтому для погрешности получим следующее выра­
жение:
п
гп— 
=
(26)
к
=1
где
Епк
— 
qkQn,n-k
1 —
Чп — U 
k = n,
УпЧп-1 ■
 ■ ■
Як rtfk
1,
Л = 1 , 2, .. 
.,п —
1.
(27)
Коэффициент 
Enh
в формуле (26) указывает, какую долю по­
грешности вносит 
k-e
слагаемое суммы (24) в общую погрешность. 
Покажем, что чем меньше номер £, тем большая погрешность вно­
сится за счет 
ук.
Для этого оценим приближенно величины 
Епк.
Так как 
q ^ l + Ej
и |е; | 
<
е
= 2 ~ ‘,
то
\qn\
=^1+е, 
\qnq„-i. . . qk+iqk\
<
^ (1 + е )п_м‘1. Отбрасывая величины второго порядка малости от­
носительно е, можно считать, что
|
qnqn-t ■
. ■
qk\
=^1+ 
(n -k +
1)е,
и тогда
\Enh\ ^ ( n - k + l ) e ,
k = \, 2,. .. , п. 
(28)
Из формулы (26) легко получить оценку относительной погреш­
ности 
\zn—z n\!\z n\.
Заметим сначала, что для положительных 
У и .-.,У п
последовательность 
zh
определенная согласно (10), не­
отрицательная и монотонно возрастающая, т. е.
£ =
1,2
Поэтому для 
yk= zk—zk-i
справедливо неравенство
|2*| + |гА_,| < 2 |z „ |,
£= 1 , 2, . . . ,
п.
Отсюда и из (26) получим оценку
| гл 
-'
\ zn
| ^ | 
Е ^
k = i
Учитывая приближенное неравенство (28), приходим к следующей 
24

---

оценке относительной погрешности:
sgC 
гп (п
+1), 
е = 2 
\
Следовательно, относительная погрешность, возникающая при 
суммировании 
п
положительных чисел, оценивается примерно как 
п22 ', где 
I
— число разрядов, отводимое для записи мантиссы. На­
пример, при 2- ‘ = 10-12, л = 1 0 3 получаем, что результирующая от­
носительная погрешность не превзойдет 10_б.
§ 3. Разностные уравнения второго порядка
1. Задача Коши и краевые задачи для разностных уравнений.
В п. 4 § 2 рассматривалась задача Коши для разностного уравне­
ния первого порядка. Обратимся теперь к линейным разностным 
уравнениям второго порядка
ял/j-i—C4/i+Mi+i = —/ь 
(О
где 
a,, b., си fj —
заданные коэффициенты и правая часть и 
у; —
ис­
комое решение. Индекс / в уравнении (1) пробегает некоторое до­
пустимое множество / целых чисел. Например,
/ = { 0 , 1 , 2 , . . . } , / = {1, 2,. . . , А/— 1}, / = { 0 , ± 1 , ± 2 , . . .},
где Л’> 1 — заданное целое число. Всюду в дальнейшем будем 
предполагать, что 
Ь,Ф0, а$Ф
0 для всех допустимых /.
Коэффициенты, правую часть и решение уравнения (1) следует 
рассматривать как функции целочисленного аргумента / е / , т. е. 
i/i=y(i), fi= f(j)
и т. д.
Уравнение (1) имеет бесконечное множество решений. Каждое 
отдельное решение называется 
частным решением
уравнения (1). 
Общим решением
уравнения (1) называется такое двухпарамет­
рическое семейство решений, которое содержит любое частное ре­
шение. В пп. 3, 4 будет показано, каким образом строится общее 
решение уравнения (1).
Для того чтобы из совокупности всех решений уравнения (1) 
выделить единственное, необходимо задать те или иные дополни­
тельные условия.
Задача Коши
состоит в отыскании решения 
уи
/ = 0 , 1 , 2 , . . . ,
уравнения (1), удовлетворяющего при /= 0, 1 заданным начальным 
условиям
Уо= Р-1> 
У
1= Ц2- 
(2)
Если 
ЬФ
0 для всех допустимых /, то уравнение (1) можно раз­
решить относительно z/j+1, т. е. записать в виде
Уi+i=
т~ У/-1 
~т~ Vi 
т~ •
О)
Ь, 
bf
ь,
Отсюда следует, что задача Коши имеет единственное решение.
25

---