А. А. Самарский, А. В. Гулин

у г 
+ Уг 
( 8 )
трех положительных чисел. Пусть сначала находится сумма у, 
+ у2
Тогда согласно (7) получим
Zi = fl
(У
1
+У
2
) = (
t
/
i
+
7
/
2
) (1 + £() 1 
| Щ |
Затем в результате сложения 
и 
у
3 
получим число 
z = tt( z i + y3) = (z1 + y3)
(1 + е2),
19

---

где |е 2| ^ 2 ”'. Таким образом, вместо точного значении суммы 
z
получаем приближенное значение
2= 
(yi + Уг)
(1+еО (1 + е2) +Уз(1 + ег)-
Отсюда видно, что результат выполнения алгоритма (8), иска­
женный погрешностями округления, совпадает с результатом точ­
ного выполнения того же алгоритма (8), примененного к другим 
.исходным данным
i/i= ( 1 4"е1) ( 1 + е2) r/i, 1=1,2, 
Уз—
( 1 -Ьег)
Уз.
На этом же примере видно, что результирующая погрешность 
■зависит от порядка выполнения операций, так что вычисление сум­
мы (8) в обратном порядке 
{у3+Уз)+У
i может привести к другому 
.результату.
Приведенный пример имеет чисто иллюстративное значение, 
так как число слагаемых в сумме (8) невелико, а погрешности е< 
малы. Практический интерес представляют оценки результирую­
щей погрешности в зависимости от числа выполненных арифмети­
ческих действий 
п.
Однако прежде чем перейти к получению таких 
•оценок, необходимо познакомиться с методами решения разност­
ных уравнений.
4. 
Разностные уравнения первого порядка. 
Предположим, что 
дадо вычислить сумму
z» = S f"- 
(9)
/ = 1
Тогда вычисления организуются обычно следующим образом. З а ­
дается начальное значение 
2
„ = 0 и затем последовательно, начиная 
с /= 1 , находятся числа 
zh
связанные рекуррентным соотношением
Zi = 2j_,+ £/,-, 
/ = 1, 2, 
Z0 = 0. 
(10)
Для вычисления произведения
( и )
/=1
.достаточно задать начальное значение ,г0=1 и воспользоваться ре- 
журрентными соотношениями
Zi = yjZ.;-i,
/= 1 , 2
г0 = 1. 
(12)
Уравнения (10) и (11) являются частными случаями 
линейного
разностного уравнения первого порядка
Zj ejjZj-
iT~
/ 1, 2, . . . ,
п,
(13)
тде 
qu
ср,-— заданные числа, г,— искомые числа. Для уравнения 
(13) рассматривается задача с начальными условиями или 
задача
Коши,
которая состоит в отыскании всех 
zh
/ = 1, 2, . . . , «, при за­
:20

---

данном начальном значении z0. Ясно, что решение задачи Коши 
для разностного уравнения (13) существует и единственно.
Коэффициенты 
qh
правые части <р,- и искомое решение 
zs
урав­
нения (13) можно рассматривать как функции целочисленного ар­
гумента 
/', 
т. е. 
q, 
=
q{j),
Ф ;
=
ф
( / ) ,
2
, =
2
( / ) .
Нам потребуется прежде всего записать решение уравнения 
(13) в явном виде. Подставляя в (13) вместо 
zs-i
выражение
Zj_ 1=
qs-
i2j_2+(pj-i,
получим