А. А. Самарский, А. В. Гулин

В случае произвольного числа 
п
сомножителей можно предложить следую­
щий алгоритм вычисления произведения (см. [6 ] ). Предположим, что
Ы < Ы < ... <|«/п|,
причем |i/[ | ^ 1 , | j / n | ^ l . Будем сначала проводить умножение в порядке
УШпУп-\
. . . до тех пор, пока впервые не получим число, большее единицы. З а ­
тем полученное частичное произведение будем последовательно умножать на
Уъ Уз
и т. д. до тех пор, пока новое частичное произведение не станет меньше
единицы. Процесс повторяется до тех пор, пока все оставшиеся сомножители
будут либо только большими единицы по модулю, либо только меньшими. Далее
умножение проводится в произвольном порядке.
П р и м е р 2. Рассмотрим процесс вычисления суммы
г п= у 1+У2 + . ■
■
 + Уп.
(24)
Для простоты изложения предположим, что все 
yi
положительны 
и больше машинного нуля. Тогда в процессе вычислений не может 
появиться нулевого результата. Алгоритм вычисления суммы (24) 
состоит в решении разностного уравнения (10) при начальном зна­
чении z0= 0.
Получим уравнение, которому удовлетворяет приближенное 
оешение 
z}.
Предположим, что вместо точного значения z,-_, в ре­
зультате накопления погрешностей округления получено прибли­
женное значение z,_,. Тогда согласно (7) вместо 
z}
получим число
Z =fl 
(Zj-i + tjj) =
(1 +6j) 
{Zj-i + y,)
,
где | е,| г^ 2 -‘.
Таким образом, приближенное значение 2,- удовлетворяет раз­
ностному уравнению
Zj^qjZj-i + yu
/ = 1, 2........«,
z0 = 0,
(25)
23

---

где 
Qj—
1 —
| e j, 
]ji=
(1 + £j) 
у у
Можно считать, что уравнение (25) по­
лучено из исходного уравнения (10) путем внесения возмущений 
в коэффициенты и в правые части, причем для каждого 
j
возму­
щение пропорционально 
г,
и не превосходит 
2~‘.
Оценим теперь результирующую погрешность 
zn—zn.
Для этого 
выпишем в явном виде решения уравнений (10) и (25), предпола­
гая, что г 0= 2 0=0. Согласно (16), (18) имеем
П 
Л