А. А. Самарский, А. В. Гулин

Уп 
Уп — Уп-1
yt
= ---------- , 
Уг—
----------- ,
т 
т
y t = ^ y t + yT) = ^
^
- ,
Ун —
У1~Ут
Уц+i 
2уп
-К 
yn-i
и обозначим 
у = уп■
Непосредственной проверкой можно установить 
справедливость следующих тождеств:
Уп-i
=
у
— 
ху о
+ 0,5т 
2уь ,
Уп
+1
=
У
+
ту°
+ 0,5т 
2у-((.
(2)
362

---

Подставляя эти тождества в уравнение (1) и используя линей­
ность операторов 
Ви i =
О, 1, 2, приходим к уравнению
т 
(В2
— 
В0)у*
+ 0,5т2 (В2 + Вц) 
y-tt
-j- 
(В2
+
В1
+
В0) 
у
= ср, 
где ср=<рОбозначим
В = т(В 2—В0) , 7? = 0,5(В2-)-Во), Л = B2+ B i+ B 0.
Тогда уравнение (1) можно записать в виде
+ х2Я
У и
+ Лу = Ф- 
(3)
Запись трехслойной схемы в виде (3) называется 
каноническим
видом трехслойной разностной схемы.
Из предыдущих рассужде­
ний следует, что в каноническом виде (3) можно записать любую 
трехслойную разностную схему, если операторы В0, 
В и В2
линей­
ные, а сетка 
caz
равномерная.
Заметим, что существование В
I 1
эквивалентно существованию 
оператора, обратного оператору 
B-\-2rR.
2
. 
Эквивалентность трехслойной схемы двуслойной. 
Покажем, 
что трехслойную схему всегда можно представить в виде некото­
рой эквивалентной ей двуслойной схемы. Такое сведение трехслой­
ной схемы к двуслойной аналогично принятой в теории дифферен­
циальных уравнений замене уравнения второго порядка системой 
двух уравнений первого порядка.
Опуская индекс 
h,
обозначим 
Н = Ни
и введем пространство 
Н2 =
= Я ® Я — прямую сумму двух экземпляров пространства Я. Про­
странство Я 2 определяется как множество векторов вида