А. А. Самарский, А. В. Гулин

12*
355

---

и означает, что при любом y ^ H h должно выполняться неравенство
 
(<т—0,5)т(Лг/, у) + \\у\\2^ 0 .  
(27)
Вспоминая неравенство (см. § 1 гл. 3)
(Ау, у) <
1
1 у I2, 
км-i = 4 - cos2 ^ ,
ПГ 
11
видим, что схема (4) устойчива при условии
(о — 0,5) тН----- — > 0
^N-1
ИЛИ
1
тХiV-i
(28)
Достаточным условием устойчивости является неравенство
h>_
4т
(29)
Напомним, что те же самые условия (28) и (29) были получены
ранее методом разделения переменных (см. § 3 гл. 3).
П р
и м 
е
р 
4
.
Рассмотрим уравнение теплопроводности в цилиндрических
координатах
ди 
1 
д / д и \
—
= --- — X— , 
0<Д£at 
х дх \ дх )
( 3 0 )
ди (0, t)
и (х, 0) = и0 (х), 
----- --------= 0 ,
u ( l , t ) =  0.
ох
Построим разностную схему, имеющую второй порядок аппроксимации по 
h и
первый по т. Основная трудность состоит в аппроксимации пространственного
оператора
дги 
1 
ди
Lu ■
дх2
+
,
х дх
и граничного условия в точке 
х = 0.
Введем равномерную сетку
Q h = {xi — ih, i'= 0 , 1, . . . , N. h N = l }
и заменим 
Lu разностным выражением
{Lhu)i = и- . + — и о , 
£ = 1 , 2 ...........
N — 1. 
(31)
х{ x,i
Ясно, что при такой замене погрешность аппроксимации является величиной
0 ( к г). Заметим, что разностное выражение (31) можно записать в дивергент­
ном виде
1
=
(аи-Ах
r.i,
Xi
где
a i = 0 , 5 ( x j + X ( _ 1) .
356

---

Далее, чтобы аппроксимировать со вторым порядком граничное условие при * = 0 ,
воспользуемся разложением
ди (0, tn) 
h д2и (0, /„)
дх
дх2
+ 0(h*).
(32)
Чтобы исключить из (32) выражение <52u(0, 
t n)/dx2, перепишем уравнение (30)
в виде
ди (х, i) 
д2и (х, t) 
1 
ди {х , t)
dt
дх2
дх
и перейдем к пределу при *->-0. 
Применяя правило 
Лопиталя, получим
и'(х) 
d u ( 0 , t )
д2и (0, t)
lim ---------
= и (0), откуда следует, что -------—----- = 2 ------ — ---- . 
Отсюда и
х-ю 
х
из (32) получаем
ди (0, /„) 
„ 
h ди (0, tn)
dt
дх
dt
■
р № * ) = < « ■
дх2
h " Г 1 -
“о
Таким образом, разностное краевое условие
г ,Л+1
t,n
h “о 
“о
+ 0 
т2).
(33)
имеет второй порядок аппроксимации на решении задачи (30). Итак, приходим
к разностной схеме
,Я+1 _
,.п 
,
—----- — = — (<)*.;• 
( = 1 . 2 ........ 'V — 1,
т 
хг
а, = О .б^ + х,-^), 
у%=0,
и
/Уп+1 — о "
Я 
“о
7ДГ.0»
которая на решении уравнения (30) имеет аппроксимацию 0 ( т + Л 2).
Приведем схему (34), (35) к каноническому виду (3). Обозначая
г/Г 1 — 
у
‘1
yt,i 
=  — ---------- 1- 
■ 
Щ = У,
(34)
(35)
перепишем (34), (35) в виде
*;
(аУ-)хЛ’ 
ai = ° -5 (xi +
i
= 1, 2, . . . , 
N -  1, 
! ^ = 0,
_ 4_
Vt,
a 
^ Kx.o.
(36)
(37)
Рассмотрим линейное пространство 
H
функций, заданных на сетке Q и рав­
ных нулю при i= JV . Введем в 
Hffl скалярное произведение и норму
Л-1
(у
. ") = 2
yivih' 
Ы
= У
(
у
> 
у
)•
1=в
357

---

Ясно, что во внутренних точках сетки Q
оператор Л, соответствующий 
схеме
(36), (37), надо определить следующим образом:
(Ay)i = — (ay-)Xii, 
ас = 0 ,5 (х{ + х ^ ) ,
i = 1, 2, . .. , Л/ — 1.
Доопределим значение 
(Ау)0 так, чтобы оператор А был самосопряженным. Если
y N — tijv = 0, то справедливо тождество (см. (14) из § 3 гл. 1)
N
- 1 
Д'- i
N
2 (A y )P ih = -  2 (ay - ^ , iv ih =  
2
+ ai^,o^o-
i = i
i — 
l
1 = 1
Полагая M i/)0 = — ----
Ух о, получим тождество
h
(Ay, v) = 2
,Л.
из которого сразу следует самосопряженность оператора Л. При этом
N
(Ау, у) =  
2
а 1
 
( У - / h. 
= 0,5 (*,- + л :^ ).
1=1
(38)
Итак, оператор Л определяется формулами
ai
(Лу)о = — — Ух 0, 
У\- = 0, й; = 0 ,5 (X; + X i_ l) ,
ft
(39)
(Ау){ = — (ay-)xj ,
i =  1 , 2 , . . . , TV — l.
Заметим, что разностное 
граничное условие (37) можно записать 
в 
виде
h
~~ у 1 0 + (Л у)0 = 0, так как ^ = 0,5 /г. Таким образом, разностная схема 
(36),
О 
’
(37) имеет канонический вид (3), где оператор Л определен согласно (39). а опе­
ратор 
В — формулами
{By)о =
г/о, 
(By),- =
xty t, 
i = 1, 2, . . . , N — 1. 
(40)
О
Докажем положительную определенность оператора (39). Из тождества (38)
следует, что 
(Ау, у ) ^ 0 для всех i/ е
Предположим, что 
(Ау, у) =  0 для
некоторого У ^ Н $ ,  и покажем, что тогда у =  0. Если (Лу, 
у ) =  0, то (/л:. i = 0,
i = l ,
2, .. . ,
N ,
т. е. Уо = У\ = ■
■
■
 = Ук. Но в силу граничного условия у jv = 0, и,
следовательно, 
1
/; = 0 для всех 
i. Таким образом, Л — самосопряженный положи­
тельный оператор и можно применить теорему 2. Условие устойчивости (20) с
учетом (38) и (40) приводит к неравенству
h 
N~l 
N
^ У 1 +  2
0 ,5 т 2 a i i y x /
h > 
(41)
1=1 
1 = 1
которое должно выполняться при каждом у  £ Я^'.
Найдем, при каких соотношениях на шаги т и h выполняется условие (41).
Для этого оценим сверху величину 
(Ау, у), данную выражением (38). Используя
358

---

1 'V 
2 ( N 
N 
\
(Ау, У) =
2
ai (У
1
 -
Vi-
1
>2 
h <  Т Г
2 
aiV2ih +
2 
а^ -
1
А 
=
неравенство (а + 6 ) 2^ 2 ( а 2+ Ь 2), получим при 
уп =
 0, что
= ^ Г | 2
(aiArai+l)y]h + a ^h
[=i
N - X
2 
2at ,
2 (а‘ + аг«) 
У!11
+
h Ve­
il2
Отсюда при ai = 0 ,5 (X i+ j;i_ i) имеем a; + a; + i = 2x; и, следовательно,
N
- 1
2
a^ v - / h < - ^
2
xiy2ih + y l
(42)
Неравенство (41) будет выполнено, если потребовать
h2 
N~l 
(
4 " _1
-^-Уо+ 2
*i!/ib>0JT
— 2
xiV\hJry\
т. e.
Следовательно, схема (36), (37) устойчива при условии т==:/г2/4 , причем устой­
чивость имеет место в норме
/
N
у
 А
II 
у
\
а
=
2
° .5 (* г + *£-i) 
( y ^ / h
t
=i
Отметим, что ухудшение условия устойчивости по сравнению с обычным усло­
вием устойчивости явной схемы т ^ 0 , 5 /г2 произошло лишь за счет разностного
граничного условия (37).
4. Несамосопряженные разностные схемы. 
Рассмотрим двуслой­
ную схему с весами
Уя+1 
- Уп
+
аАуп,х
+ (1 ~ о) 
Ауп
 = 0, 
(43)
Т
где 
А
— оператор, действующий в вещественном конечномерном 
пространстве 
Hh
со скалярным произведением ( , ), а a — число­
вой параметр. Схема (43) имеет канонический вид (3), где 
В =
= Е+атА.
Как и всегда, предполагаем существование б -1. В отли­
чие от теорем 2 и 3 не будем требовать самосопряженности опера­
тора 
А.
Справедлива
Т е о р е м а 4. 
Если при любых 
выполнено неравенство
(а -0 ,5 )т |И о ||2+
(Av, v )
5*0, 
(44)
то схема
(43) 
равномерно устойчива по начальным данным и для
ее решения справедлива оценка
1К+11К1Ы1, 
« = 0, 1, . . ., 
К
—1, 
(45)
где \\уп\\=Цуп, Уп).
359

---

Д о к а з а т е л ь с т в о . Запишем схему (43) в виде
Уп
+1 
Еуп,
где 
S = E
—т
В~'А, В = Е-\-ахА.
Оценка (45) эквивалентна тому, что
IISyJKHf/J. 
(46)
В силу тождества
Ц5г/„||2=
(уп—хВ-'Ауп, уп—хВ~1Ауп) =
= 1Ы12- 2 т
(В~'АУп, уя) +т*\\В-1А у Л 2
заключаем, что неравенство (46) выполнено тогда и только тогда, 
когда
(■
В~1Ауп, уп)^ 0 ,5 х \\В -'А у п\\\
Учитывая перестановочность операторов Л и В, последнее неравен­
ство можно переписать в виде
{АВ~Чуп, уп)^0,Ьт\\АВ-'уАг.
(47)
Обозначим 
v = B~'yn.
Тогда (47) примет вид
(Ли, 
Bv)
^ 0 ,5 т||Л и ||2 или 
(Av,
и+отЛц) ^0,5 т||Л п ||г.
Но это неравенство выполняется в силу условия (44), что и дока­
зывает теорему 4.
З а м е ч а н и е 1. Если А — положительный оператор, то при а ^ 1 / 2 схема
(43) устойчива при любых т (абсолютно устойчива).
З а м е ч а н и е 2. Если оператор А зависит от я, то в теореме 4 надо потре­