А. А. Самарский, А. В. Гулин

у =
{у,,у2}, 
где 
у и 
уг^ Н ,
а операции сложения и умножения на число вводят­
ся покоординатно, т. е.
ay+ fiv=
{ou/i + рщ, 
ay2+ $ v 2],
где у = {г/i, 
у 2)
, v = { v t, v2}, а,
|3 — числа. Если в Я задано скалярное 
произведение (, 
)н,
то полагаем
( у ,
у)н*= 
( у и
щ)н+ 
( у 2, и 2) н .
Далее, если 
Cf]
— линейные операторы, действующие в Я, 
i, j —
= 1, 2, то матрица
Q ,__ Си 
С13
_ С21 
С-.,.
представляет собой оператор, действующий следующим образом: 
если 
х= {хи
х2} е Я 2, то 
Сх= {СИх,-]-С12х2,
C2iX1+ C 22x2}. Для опера­
торных матриц справедливы те же правила сложения и умножения, 
что и для обычных матриц, надо только следить за порядком со­
множителей.
Возвращаясь к уравнению (1), перепишем его в виде системы 
Уп
== 
Уп<
Упы=
В2 В0уп_г 
В2 Biyn
-f- 
В2 (рп.
363

---

Определим вектор 
у п = { у п- и у п},
правую часть 
< p " = { 0 , f i 21(Pn} 
и
оператор
5
Г 
0 
£
1
действующий в Я2. Тогда уравнение (1) можно записать в виде дву­
слойной разностной схемы
(/"+1 = 5(/"+Фп, 
(4)
определенной в пространстве Я 2.
Учитывая возможность сведения трехслойной схемы к двуслой­
ной, можно многие результаты § 2 перенести на трехслойные раз­
ностные схемы. В частности, для трехслойной схемы так же, как и 
для двуслойной, из равномерной устойчивости по начальным дан­
ным следует устойчивость по правой части. Поэтому в дальнейшем 
мы ограничиваемся изучением устойчивости по начальным данным.
Трехслойную схему можно представить в виде двуслойной схе­
мы не единственным образом. Иногда бывает удобным представить 
разностную схему (3) в виде двуслойной схемы, записанной в кано­
нической форме
ип+1
— 
ип
® 
у-
----------
у-
+
,Луп 
=
ф
“, 
(5)
Т
где у " е Я 2 и 
— операторы, действующие в Я2. Чтобы получить 
такое представление, введем векторы
ф"={фл, 0}, 
у"=
{0,5 (*/„+*/„_,), 
(6)
где 
уп
— решение, а ф„— правая часть уравнения (3). Далее, опре­
делим операторы
- А
0
В + ~ А
х [ R
— - 7
Л j
л =
0 
R
А
L 
4 
J
, 
33 =
Тогда, как можно убедиться непосредственной проверкой, трех­
слойная разностная схема (3) представляется в виде двуслойной 
схемы (5). При этом, если записать схему (5) как систему двух 
уравнений, то первым будет уравнение
By 
о
+
т
2Rylt
+
Ay
= Ф, 
а вторым — тождество 0 = 0.
3. 
Устойчивость по