А. А. Самарский, А. В. Гулин

2т
(23)
имеющая аппроксимацию 0(т2 + /г2) + O ^ - j . Покажем, что эта
схем а абсолю тно устойчива. П ерепиш ем ее в виде
У?
+
+ Ay = 0,
где оператор 
А
определен согласно (16).
368

---

Тогда получим, что схема (23) имеет канонический вид (3), где 
ф = 0, 
В = Е
и 
R —~ Е .
Условия устойчивости (9) сводятся к нера­
венству
—
Е > - А ,
h2 
4
которое всегда выполнено в силу (20). Тем самым схема (23) аб­
солютно устойчива.
§ 4. Об экономичных методах решения многомерных
нестационарных задач математической физики
1. 
Недостатки обычных разностных методов. 
Цель настоящего 
параграфа дать первоначальное представление о некоторых раз­
ностных методах, предназначенных специально для решения неста­
ционарных задач математической физики с числом пространствен­
ных переменных, равных двум или трем (такие задачи называют 
многомерными). Прежде всего поясним необходимость применения 
специальных методов. В качестве примера рассмотрим двумерное 
уравнение теплопроводности
ди д2и 
д2и
& 
дх2 
дх2
и
(х, 
i) = n
(X
, 
t),
и
(
X
, 0) =
и0 (х),
в прямоугольнике
С = { 0 < х 1< / 1, 0 < х 2< / 2}
с границей Г.
Введем, как обычно, сетку по времени
й ,= {^„ = пт, 
/2
= 0, 1, . . . ,
К—
1, 
Кт = Т}
и пространственную сетку
Qh
=
{хц =
(xf>, х), х(1'> =
ihu
х(/> =
jh2},
где i = 0, 1, 2, . . . ,
N u
/' = 0, 1, 2, . . . , У2, причем 
h2N 2 = l2.
Множество внутренних точек сетки 
(когда 
2
= 1, 2, . . . ,
— 1,
/= 1 , 2, . . . ,
N 2
—1) будем обозначать через со,,, а границу сетки 
— 
через 
^h.
Таким образом, 
— это множество точек сетки 
Qh,
при­
надлежащих границе Г прямоугольника 
G.
Будем обозначать 
t
/Д =
= у(хц,
/„), где 
x ,,^Q h,
/„<=<щ.
Как мы знаем (см. § 4 гл. 1), для решения уравнения теплопро­
водности можно применить либо явную, либо неявную разностную
13 
А. А. С ам а р ск и й , А. В. Гулин
х =
(х1г
х2) 
ре
G,
(1)
х = Г, 0 < / 
Т,
x p e
G + Г
369

---

схему. Рассмотрим сначала явную схему
у г‘! 1
_
у 1}.
—------- -
z== Aj/ij,
если 
xtj
Gr о)д, 
t n
G= ых,