А. А. Самарский, А. В. Гулин

З а м е ч а н и е . Пусть Н — комплексное пространство. Тогда теорема О с т а ­
нется справедливой, если условие В ^ О заменить условием В* + В ^ 0 .
4. 
Примеры. Для исследования устойчивости конкретных трех­
слойных разностных схем надо записать их в каноническом виде 
(3) и определить, при каких значениях параметров выполняются 
условия теоремы 1. Приведем несколько примеров исследования 
устойчивости.
П р и м е р 1. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения 
колебаний струны
д 2и
д 2и
~dt2 ~~d?r '
0 < * < / , 0 
< t ^ T ,
и (х,
0 ) =
и0 (х), 
ди-- --0)
= « о (*)> 0
С х 
<
I,
 
( 1 4 )
«(0, 
t) = u(l, t)
=0, 
0 < = /^ Г .
Введем сетку <ам =
где
щ
=
{xi — ih, i —
0, 1, . . . . Я, 
hN
= /},
©т =
{tn = пх, п =
0, 1, .. ., 
К, Кх = Т),
и сопоставим задаче (14) двухпараметрическое семейство схем с
366

---

в е с а м и
y-tt i —
 OiA
yT1
 + (1 —ai — о2) 
hyi
 + 
а
2
^yi
>
л= 1 , 2, . . . ,
К—
1, 
i = \ , 2,
. . . ,
N
—1,
yi = U0
(
Xi
), 
у]
=
и0
(Xi), 
у о
=
Уы
== 0.
Здесь а,, а2 — заданные числа,
п 
у
Г ' - Ч + 
у
У
У'И
а
_2
A y'i
:
А2
( 1 5 )
а значения 
иа(х{)
подобраны так, чтобы порядок погрешности ап­
проксимации начального условия 
ди(х, Q)/dt
= ц0
(х)
совпадал с по­
рядком погрешности аппроксимации основного уравнения (кон­
кретное выражение для й0(-С) нам не потребуется, а способ построе­
ния 
u0(Xi)
был указан в § 5 гл. 1).
Введем пространство 
Hh
как множество 
функций, задан­
ных на сетке 
и равных нулю при i = 0, 
i = N.
Определим в 
х
оператор
{Ay)i = — y-x i,
t = l , 2 , . . . .
N
— 1, 
у0 = yN = 0 .
 
(16)
Тогда разностную схему (15) можно записать в виде
У~и
 
(1 — ai — Луп
 +
а2Ау
п- 1
 = 0, 
(17)
где 
Уп^Н'^-и у,г
=
(yi, yi, ■
■
■
, 
yl’- i f , Уjt
= (Уя+i—2г/п+г/п_,)/т2.
Пользуясь тождествами (2), легко привести схему (17) к канони­
ческому виду (3), где ср = 0, оператор 
А
определен согласно (16) и
В = (а1- а я)т Д
R = ± E + - ° ± ± ^ А .
 
(18)
т2 
2
Для выяснения условий устойчивости схемы (15) воспользуемся 
теоремой 1. Уже неоднократно было показано (см. § 1 гл. 3), что 
оператор (16) является самосопряженным и положительным опера­
тором в смысле скалярного произведения
N - 1
(у,
= 2 yc°ih'
причем его наибольшее собственное значение
m a x —
 
„ 
C O S
А2
яА
21
оценивается сверху величиной 
A = 4/h2.
Операторы 
В п R,
определенные формулой (18), также само­
сопряженные. Согласно теореме 1, для устойчивости схемы (15) 
достаточно выполнения условий (9). Условие Б ^ О приводит к 
ограничению сг^Оз, означающему, что вес нижнего слоя не дол­
жен превосходить веса верхнего слоя.
367

---

Первое из условий (9), а именно операторное неравенство 
R >
у > ~ А ,
в данном случае приводит к неравенству
1 £ + /а1± а 1 __1_\л 
т 2
V 
2
 
4
 
)
означающему, что
> « г +
с г
i)
(Ау, у)
> 0
(19)
Д Л Я
любого 
ОТЛИЧНО ГО ОТ н у л я
у ^ Н н -
1
.
Поскольку
I
У
|2 > “
(Ау, у),
д
>
II
(20)
неравенство (19) будет выполнено, если потребовать 
_±_ + о1± о 1 _ ±
> 0
Дт2 
2 
4
Итак, схема (15) устойчива при выполнении условий
--
CTi -}- (То ^ 1
2
 
4
J_
V
У
/х2
(
21
)
Следует отметить, что эти неравенства, полученные как доста­
точные условия устойчивости, на самом деле очень близки к необ­
ходимым условиям устойчивости схемы (15). А именно, применяя 
метод гармоник (см. § 5 гл. 1), можно показать, что для устойчи­
вости схемы (15) необходимо
°1 +
7 =
2 
4 \
v / 
Л2
Частным случаем схемы (15) являются симметричные схемы 
(<Т
1
= а2 = а), которые имеют второй порядок погрешности аппрокси­
мации на решении задачи (14). В этом случае условия устойчи­
вости сводятся к одному неравенству
' - 7 Р
v = j r
<22>
" > 7
Например, явная симметричная схема (о1 = а2 = 0) устойчива при 
условии ' y d , т. е. 
x
П р и м е р 2. В § 5 гл. 1 уже рассматривалась схема для урав­
нения теплопроводности
у
Т 1- ^
y l , - ( y r iJr y n
r l) + yU