Эпюрами внутренних усилий в балках

Эпюрами внутренних усилий в балках называют геометрические образы, применяемые для графического изображения изменения в элементе какого-либо силового фактора либо иных данных.
Примеры построения эпюр
Эпюры внутренних усилий (поперечных сил и изгибающих моментов) для простейших систем показаны на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 – Эпюры внутренних усилий для простейших балок
Отметим, что в строительной механике, на эпюре изгибающих моментов знак, как правило, не ставится, и в отличие от сопромата, она строится со стороны растянутых волокон.
Эпюры для однопролетных балок с консолями строят в следующем порядке:

1. 
   сначала строят эпюры на консолях, используя таблицы изгибающих моментов для консольных балок (рисунок 3.1), фиксируя при этом консольные моменты;
   
2. 
   отмечая опорные моменты, проводят так называемую линию опорных моментов. Это прямая, соединяющая ординаты моментов над опорами;
   
3. 
   на линию опорных моментов накладывают пролетную балочную эпюру (табличная эпюра М для однопролетной балки) от соответствующего вида загружения;
   
4. 
   все эпюры М строят со стороны растянутых волокон.
   

Между выражениями для изгибающего момента, поперечной силы и интенсивностью распределенной нагрузки в пределах расчетного силового участка существуют известные из курса "Сопротивление материалов" дифференциальные зависимости.
Они легко выводятся с помощью уравнений равновесия, составленных для вырезанного бесконечно малого элемента (рисунок 3.2):


Рисунок 3.2 – Определение значений поперечной силы
Внутренние силы в основных типах элементов систем:
 ферменный элемент — это стержень, имеющий по концам шарнирное (безмоментное) закрепление. В этом элементе при отсутствии собственной поперечной нагрузки возникают лишь продольные силы.
 рамный (балочный) элемент — стержень, в котором возможно возникновение всех внутренних силовых факторов (N,Q,М).


Расчетным силовым участком называется участок элемента системы с постоянным законом изменения всех внутренних силовых факторов.
В расчетной практике силовые участки определяются их границами.
Граница силового участка − это место приложения какой-либо сосредоточенной нагрузки (силы или момента), начало или конец распределенной нагрузки, место изменения геометрии, механических характеристик конструкции, интенсивности распределенной нагрузки.
В курсе «Строительная механика» принята следующая последовательность определения внутренних усилий (построения эпюр).
Первоначально с помощью уравнений статики в требуемых сечениях определяются изгибающие моменты.
Далее посредством дифференциальной зависимости осуществляется переход к поперечным силам. Последние дают возможность оценить и продольные силы.
Построение эпюры моментов производится по силовым участкам. При этом за расчетный модуль принимается консольная балка (рисунок 3.3).
За начало (В) принимается тот конец силового участка, на котором все внутренние и внешние воздействия определены.


Рисунок 3.3 – Консольная балка
Они (воздействия) легко (принцип независимости действия сил) приводятся к алгебраической сумме результатов простейших воздействий.
При построении эпюр внутренних усилий в многопролетных балках, рамах и других конструкциях используются эпюры М и Q в простых однопролетных и консольных балках, которые чаще всего называют табличными эпюрами моментов и поперечных сил (рисунок 3.1).
Последовательность построения эпюр внутренних усилий М, Q, N в статически определимых системах:
1) Кинематический анализ. Напомним, что нас интересуют лишь геометрически неизменяемые системы с нулевым количеством степеней свободы и правильной расстановкой связей.
2) Определение опорных реакций и реакций связи. При этом используются уравнения равновесия, составленные как для всей системы в целом, так и для любого элемента или группы элементов.
3) Построение эпюры изгибающих моментов − М.
По эпюре изгибающих моментов с помощью дифференциальной зависимости Журавского строится эпюра поперечных сил (Q).
На участке с линейной эпюрой изгибающих моментов величина поперечной силы равна тангенсу угла наклона эпюры М.
Q = |tga| — где a угол наклона касательной на эпюре М к оси балки.
Знак Q определяется по направлению кратчайшего совмещения оси участка с эпюрой. Если оно происходит по направлению движения часовой стрелки, поперечную силу считают положительной.
Если же против часовой стрелки, то отрицательной.
При построении эпюры поперечных сил для участков с криволинейной (изменяющейся только по закону квадратной параболы) эпюрой изгибающих моментов пользуются следующей зависимостью:
Q = Q_о + (М_пр – М_л)/L
где Q_о − поперечная сила от внешней нагрузки, приложенной на рассматриваемый участок, определенная для балки на двух опорах пролета равного L;
М_п, М_л − алгебраические величины изгибающих моментов, соответственно на правом и левом торцах рассматриваемого участка.
Вышеуказанное выражение (3.1) легко получить самостоятельно (рисунок 3.4):

Рисунок 3.4 – Вывод выражения (3)
4) По эпюре поперечных сил строится эпюра продольных сил. При этом рассматривается равновесие всех узлов системы под действием внутренних (продольных и поперечных) и внешних (узловых) сил.
5) Проводится статическая проверка правильности построения эпюр М, Q, N.
Правила для проверки правильности построенных эпюр внутренних усилий:
а) На прямолинейном ненагруженном участке эпюра моментов прямолинейна.
б) В сечении, где приложен сосредоточенный внешний момент, эпюра получает скачок на величину этого момента (рисунок 3.5), а линии эпюры моментов примыкающие к скачку идут параллельно друг другу.

Рисунок 3.5 – Эпюра М на участке с приложенным сосредоточенным моментом
в) В точке приложения сосредоточенной внешней силы Р, перпендикулярной оси стержня, эпюра моментов имеет перелом, направленный острием в сторону действия силы (рисунок 3.6).
Изменение тангенсов углов наклона эпюры в точке ее перелома равно силе Р. На эпюре Q в этой точке — скачок на величину Р в направлении ее действия.

Рисунок 3.6 – Эпюра М на участке с приложенной сосредоточенной силой Р
г) На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра моментов очерчена по параболе второй степени с выпуклостью в сторону действия нагрузки и со стрелкой равной q×L²/8 (рисунок 3.7).

Рисунок 3.7 – Эпюра М на участке с равномерно распределенной нагрузкой
д) В сечениях, где нет сосредоточенной нагрузки, эпюра моментов не имеет перелома.
е) Поперечная сила в сечении стержня положительна, если она стремится вращать разделенные данным сечением части стержня по часовой стрелке (рисунок 3.8).


Рисунок 3.8 – Правило знаков для поперечной силы