А. А. Самарский, А. В. Гулин

354

---

н е р а в е н с т в о
т (!Ы & )* < о .
которое совпадает с неравенством (21). Теорема 2 доказана.
З а м е ч а н и е 1. В теореме 2 оператор В может быть несамосопряженным
оператором и может как угодно зависеть от п.
З а м е ч а н и е 2. Если А — самосопряженный положительный оператор, то
условие (20) является и необходимым условием выполнения оценки (21). Д ей ­
ствительно, из (21) и (24) получаем неравенство
( ( В —0 , 5 т А ) у , , у , ) 5 > 0 .  
(25)
Согласно (11) имеем yi — —В ~ ' А у п, следовательно, в силу произвольности
у п 
и 
обратимости оператора А неравенство (25) эквивалентно операторному
неравенству (20).
Если Я Л — комплексное пространство, то справедлива
Т е о р е м а 3. При тех же условиях на оператор А, что и в теореме 2, из
неравенства
B * + B 7
zt
;A 
(26)
следует оценка (21) для решения уравнения (11).
Доказательство, совершенно аналогичное доказательству теоремы 2, предла­
гаем провести читателю.
Теоремы 2 и 3 позволяют сформулировать следующее правило 
исследования устойчивости конкретных двуслойных разностных 
схем. Прежде всего надо привести разностную схему к канониче­
скому виду (3) и определить тем самым операторы 
А
и 
В.
Затем 
надо исследовать свойства оператора 
А.
Если этот оператор явля­
ется самосопряженным и положительным и не зависит от 
п,
то ос­
тается проверить выполнение операторного неравенства (20) (в слу­
чае комплексного пространства — неравенства (26)). Обычно не­
равенство (20) приводит к некоторым ограничениям на т и 
h,
кото­
рые и представляют собой условия устойчивости данной разност­
ной схемы.
Приведем примеры исследования устойчивости на основе тео­
ремы 2.
П р и м е р 3. Рассмотрим ту же схему с весами для уравнения 
теплопроводности, что и в примере 1. Эта схема была приведена к 
каноническому виду (11), где оператор 
А
определен согласно (5) 
и В = £'-|-стгЛ. В главе 3 показано, что 
А
— самосопряженный и по­
ложительный оператор в смысле скалярного произведения
N -1
(У,
о) = 2
yiUih
•
Для скалярного произведения 
{Ау, у)
справедливо выражение
(Ау, у)
= ^
( У х / 11-
1 = 1
Таким образом, оператор 
А
удовлетворяет условиям теоремы 
2.
Условие устойчивости (20) принимает вид
Е
+ от 
А
Дг 0,5т 
А