А. А. Самарский, А. В. Гулин

3S3

---

3. 
Теоремы об устойчивости по начальным данным. 
Предполо­
жим, что в 
Hh
введены скалярное произведение 
(у, v)h
и норма 
\ \ y \ \ h
= i( y , у)к-
Для упрощения записи индекс 
h
у скалярного про­
изведения и нормы будем в дальнейшем опускать.
Оператор 
D,
действующий в 
Hh,
называется положительным опе­
ратором, если 
(Dy
, 
у ) >
0 для всех 
y ^ H h.
Если 
D
— самосопряжен­
ный положительный оператор, то можно ввести норму ||«/||D = 
= }/(Dy, у),
называемую энергетической нормой, порожденной опе­
ратором 
D.
В дальнейшем неравенство 
D
> О (Z )^0) означает, что 
D
— положительный (неотрицательный, т. 
е. 
(Dy, у) 
^ 0 для всех 
y ^ H h)
оператор.
Будем считать сейчас, что 
Hh
— вещественное пространство. 
Имеет место
Т е о р е м а 2. 
Пусть в схеме
(3) 
оператор А является самосопря­
женным положительным оператором и не зависит от п. Если вы­
полнено операторное неравенство
В^0,Ь хА ,
 
(20)
то схема
(3) 
равномерно устойчива по начальным данным, причем
для решения однородного уравнения
(11) 
справедлива оценка
lll/n+ilL<||i/JL, 
л = 0, 1 ,-----/С—1. 
(21)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим 
y t = ( y n+i
—
Уп)
/т, г/ = у„ и ум­
ножим уравнение (11) скалярно на 
y t.
Тогда получим тождество
(Byi, y i) + ( A y ,y t)=
0,
которое после очевидных преобразований можно записать в виде 
(
(В
—
0,5xA)yt,
У() + (0,5тЛ 
1
/,+Лг/, у, ) =0.
(22)
Замечая, что
0,5тЛ г/,-f-Л г/ = 0,5Л 
(Уп-ЕУп+д),
перепишем (22) в виде
(
(В
—0,5тЛ) f/(, у()+ 0 ,5 г -‘(Л(уп+1+ у п), 
Уп+1—уп)=
 0. 
(23)
Далее, используя условие самосопряженности оператора Л, а 
также его независимость от 
п
и положительность, получим
(Л 
(Уп+i
Ч- 
Уп), Уп+i 
Уп
) =
(Ауп+
1
, 
Уп+
1
) 
(Ауп+
1
, 
Уп)
+
“Б 
(Ауп, Уп+
1
) 
(Ауп, Уп)
=
(Ауп+i, Уп\
i) 
(Ауп, Уп)
=
— х(Ауп, yn)t = x(\\ynfA)t.
Отсюда и из (23) приходим к следующему тождеству:
((В
- 0,5тЛ) 
yt, У1)
+ т (|| 
уп (A)t =
0. 
(24)
Из условия (20) получаем, что
((В —0,5хА)у„ 
у
() 5з0,
поэтому в силу (24) для решения уравнения (11) справедливо