А. А. Самарский, А. В. Гулин

351

---

оценка
(
10
)
II'/« IL ^ /W1||«/0||1/
i
+ M2 max |
Устойчивость, выраженную оценкой (10), называют устойчи­
востью по начальным данным и по правой части. Используются 
также понятия устойчивости по начальным данным и устойчивости 
по правой части. Рассмотрим однородное уравнение
В
— -— — +
Ауп =
0, 
п = 0, I, . . . , К — I, 
y0
задан. 
(11) 
т
О п р е д е л е н и е 2. Разностная схема (3) называется 
устойчи­
вой по начальным данным,
если существует постоянная A4i>0, не 
зависящая от 
h,
т, 
п
и такая, что при любых 
y0^ H h
для решения 
однородного уравнения (11) справедлива оценка
! ^
11
1/г< ^
1
||«/о
1
и . 
п = 0,
1, . . . .
К.
(12)
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (3) с нулевыми на­
чальными данными
В yJL+i ~ . Уп. 
А у п
— фи, 
/г = 0. 1, . . . , 
К - \ , Уо — 0-
(13)
т
О п р е д е л е н и е 3. Разностная схема (3) называется 
устойчи­
вой по правой части,
если существует постоянная М2> 0 , не зави­
сящая от 
h,
т, 
п
и такая, что при любых фм ( ^ „ ) е # Л для решения 
уравнения (13) справедлива оценка
max IIФ/ llah- 
(14)
os/^n-i
Заметим, что в силу линейности разностной схемы из одновре­
менной устойчивости по начальным данным и по правой части сле­
дует устойчивость в смысле определения 1. Более того, покажем, 
что устойчивость по правой части является в определенном смыс­
ле следствием устойчивости по начальным данным.
О п р е д е л е н и е 4. Разностная схема (3) называется 
равно­
мерно устойчивой по начальным данным,
если существуют постоян­
ная р > 0 и постоянная 
M t,
не зависящая от 
h,
т, 
п,
такие, что при 
любых 
п =
0, 1, . . . ,
К
—1, 
К>1 ,
и при всех 
yn^ H h
для решения 
Уп+i
однородного уравнения (11) справедлива оценка
1 
Уп
+1
111;, 
Р I 
Уп
111/,) 
(15)
причем 
рп^ . М 1.
В теории разностных схем в качестве константы р выбирается 
обычно одна из величин р = 1, р = 1 + с0т или р=
ес°х,
где 
с0^ 0
не за­