А. А. Самарский, А. В. Гулин

оператора ЛЛ. Если вы полнено условие (1 1 ), то все собственны е зн а ­
чения оператора 
Ah
— действительные числа, причем для минималь­
ного собственного числа выполняется оценка
б > 0.
(14)
343

---

Действительно, пусть 
X
— любое собственное число оператора 
Ah
и р, — отвечающая ему собственная функция, ЛА|л = Яц. Тогда со­
гласно (11) имеем
и, следовательно, 
Х ^ Ь .
Для самосопряженного оператора 
Ак
верно и обратное: из усло­
вия (14) следует выполнение неравенства (11) при любых щ е /Д . 
В данном случае любой элемент 
vh^ H h
можно разложить по орто- 
нормированной системе {щ} собственных векторов оператора 
Ah:
Vj,
-- 2]
k
и получить, что
{AhVh, V/,) = 2
-3= ^m!n II Vh I* S& б I lift I?,.
k
Таким образом, можно сформулировать еще один признак коррект­
ности.
Пусть Ah
— 
самосопряженный оператор иХ£}П— его минималь­
ное собственное число. Если выполнена оценка
(14) с 
постоянной
8 > 0 , 
не зависящей от h, то уравнение
(2) 
корректно и для его ре­
шения справедлива оценка
(12).
Вернемся к примерам, рассмотренным в п. 1. Введем в простран­
стве 
Н
%_j (см. пример 1) скалярное произведение
N
-1
(У, V) =
2
yvifr 
1=1
И 
норму
\у\ =
N
-1
2
y*h
й
Тогда, как было показано в § 1 гл. 3, оператор (7) является само­
сопряженным в 
H
n
-
i
и для его минимального собственного числа 
справедливо неравенство (14) с константой 8 = 9/Р. Таким образом, 
разностная задача (3) корректна и для ее решения выполняется 
оценка (12), где функция <р определена согласно (6).
В случае схемы из примера (2) скалярное произведение и нор­
ма в 
Н°(
Qft) определяются как
N i
- 1 
.V,—1 
______
(у, v) =
2
к
2
h^ n v4 ’ 
\\
у
\ \ = У (
у
<
 
у
)-
(=i 
i=i
Оператор (9) является самосопряженным и для его минимального 
собственного числа выполнена оценка (14) с константой 8 = 9 
-f- 9
/1\
(см. § 2 гл. 3). Следовательно, разностная схема (8) кор­
344

---

ректна и для ее решения справедлива оценка
ы < т 1 + 9 / й г ч п .
Иногда оценок вида (12), в которых решение и правая часть вы­
числяются в одной и той же норме, бывает недостаточно для до­
казательства сходимости и выяснения порядка точности разностной 
схемы. В то же время оценки вида (10) со специально подобранной 
нормой правой части|| Ф
а
| (2д) позволяют получить правильное пред­
ставление о порядке точности разностной схемы.