|
1|у 1с«йй) ^
(II сР|1с«лЛ) + I Н-
1
1)
для разностной схемы (3), (4) при р2=0. Последняя оценка выра
жает устойчивость решения разностной задачи по правым частям ср
и р,.
4.
Разностные тождества и неравенства. Для того чтобы дока
зать неравенство (13), нам потребуются некоторые разностные тож
дества и неравенства. Будем рассматривать сеточные функции, за
данные на сетке (7). Обозначим г/;=у(х*),
г/*,= (У
й
-
г
—у,)/й.
N
- 1
Л /
y - * . t
=
( y r - y i - i ) l h <
( y .
v )
=
2
y p i h ,
(y, v]
=
2
y v c h .
i
=1
1 = 1
Справедливо следующее разностное тождество:
{У, Vx) = — (v,y~] + y.vVA' — yavx.
(14)
Действительно,
N -x
N - l
N
N -
1
( y , Vx)
= 2
yiVx-ih
= 2
y i
(yi+1 — Ui) — 2
y i ~lVi ~~
S
y m =
1=1
i
= 1
i
= 2
N
N
— 2
yt-
iy‘'
^oyi — 2
yiUi
+ yNVN =
i
=i
г=i
N
= — 2
Vi
~ y t - J
+
y ^ VN
—
^oy i .
t—i
что и требовалось доказать. Тождество (14) называется
формулой
суммирования по частям.
Подставляя в (14) вместо
v
выражение
az
- и вместо
у
функцию
г, получаем
первую разностную формулу Грина
(2, (
й
2
-)
х
) = — (а, (г-)2] +
aNz- NzN —
042
*.ог0.
(15)
Здесь (а, (г-)2] = 2 ai (zj ,)2 й.
В частности, если
2„ = 0
(как в
1 = 1
269
(1 6 )
задаче (11), (12)), то получим
(г, (аг-)х)
= —
(a, z\]
—
a&'oZo.
Обозначим
N
ll^ ]|2= 2 t e / A
i—
1
и докажем, что
для любой сеточной функции zu удовлетворяющей
условию zN =
0,
справедливо неравенство
||2
|Р<иА) •
(17)
Для доказательства воспользуемся тождеством
N
N
_
2{ =
—
2 % , / = — 2
^ / / г г 7 . / ) ’
i = 0 , l ,
, N — 1,
J— L+1
и применим неравенство Коши — Буняковского
2
aibi
Тогда получим
N
/ = И - 1
N
N
\ (
N
2 \ / VI К2
2
а'
j—Ul
/ Vj'=t‘+i
2
■
N
N
М 2 < 2 М 2
hzh
М - * > 2
hzh ^ 1
2
hzh<
\/=i+i
j
\/=t'+1
/
/=i+i
/=i
откуда сразу следует неравенство (17).
5.
Доказательство сходимости. Возвращаясь к доказательству
сходимости схемы (3), (4), получим тождество, которому удовле
творяет погрешность
г{ = у{
—u(xf). Для этого умножим уравнение
(11) на
hZi
и просуммируем по
i
от 1 до
N
—1. Тогда получим
((о
2
-)х, z)
— (d,
г2)
= — (ip,
г)
Отсюда, применяя разностную формулу Грина (16), получим
(а,
z\]
+
axzX'az0
+ (d,
г2) = (ф,
г).
Далее, согласно (12) имеем
а Л ,0г0 = р2аи —
vjz0,
следовательно, справедливо тождество
(а,
z|] + Рго +
(d,
г2) = (ф,
z)
+ v^,.
(18)
Из этого тождества и будет сейчас выведено требуемое неравенство
вида (13).
Заметим прежде всего, что если
k ( x ) ^ c 1>
0,
р > 0 ,
q( x) ^s
О,
270
то коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют нера
венствам
a.^sc.X ),
р > 0 ,
d ^ O .
(19)
Это утверждение сразу следует из явного представления коэффици
ентов (5), (6).
Воспользовавшись (19), оценим слагаемые, входящие в левую
часть тождества (18), следующим образом:
(а - 41 = 2
a^ J l
^
2
zl i
h = ci I
^
I2-
pz0
2 > О,
(d,
z2) ^ 0 .
Тогда придем к неравенству
Cil|z-]|2< | ( ^ , z)| 4- l’i| |z0|.
(
20
)
Оценим сверху правую часть этого неравенства. Будем иметь
0 M ) | + K l | z o | < 2 М,г112«1А + К П го К
1=1
< ! 2 lc(«B/l)^ 2 l ^ + N j .
Подставляя эту оценку в (20) и учитывая неравенство (17), полу
чим
-уЧИсКо/Р ^ 1^ 2 I
^ ‘\ h
+ I
V1
1^1Ис(И/1)>
т. е.
+ К | ) -
Окончательно
1 г 1
C{ah)
г ^
“
( / Н 1 с ( ш ;1) “ Ь 1 V 1 D -
Поскольку 1Ф||С(Ш
j
= 0 ( h 2),
| Vl|= 0 ( / i 2), из неравенства (21)
следует, что погрешность
2
, = у;—
и(х{)
также является величиной
0 ( h 2)
при
h
—
>-0. Итак, справедливо следующее утверждение.
Пусть k(x) — непрерывно дифференцируемая и q(x), f(x) — не
прерывные функции при
х е [ 0 , /],
решение и{х) задачи
(1), (2)
об
ладает непрерывными четвертыми производными. Пусть коэффици
енты разностной схемы
(3), (4)
удовлетворяют условиям
(8), (9),
(19).
Тогда решение разностной задачи
(3), (4)
сходится при h-+0
к решению исходной дифференциальной задачи
(1), (2)
со вторым
271
порядком по h, так что выполняется оценка
\ \ y ~ l4 c w
M h\
где М
—
постоянная, не зависящая от
/г.
З а м е ч а н и я . I. Из доказательства видно, что конкретный вид коэффици
ентов (5), (6) не влияет на справедливость высказанного утверждения, важно
лишь выполнение условий (8), (9), (19). 2. М ожно ослабить требования на глад
кость коэффициентов
k(x), q(x), f(x) и решения и(х), однако при этом априор
ные оценки вида (21) становятся бесполезными, так как норма |[ ф |fc(M/l) может
и не стремиться к нулю. Доказательство сходимости в классе разрывных коэф
фициентов и в случае неравномерных сеток, основанное на оценках погрешности
у , —u(Xi) через слабые нормы погрешности аппроксимации ф,-, например нормы
N
- 1
i
вида ||ф|| = 2
h
2 А*/
, можно найти в [32].
t=i
/=1
§ 4. Разностные схемы для уравнения теплопроводности
1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую
краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными
коэффициентами. В области {0< х< 1, 0 < ( ^ Г } требуется найти ре
шение уравнения
ди
dt
дЧ
дх2
+
f (х,
(
1
)
удовлетворяющее начальному условию
и(х,
0
) = и 0(х)
(2)
и граничным условиям
«(О,
t)
= ц 1((), ы(1, 0 =|ха(0-
(3)
Здесь
и0(х),
p.i((), р2(^)— заданные функции. Известно (см.
[41]), что при определенных предположениях гладкости решение
задачи (1) — (3) существует и единственно. В дальнейшем при ис
следовании аппроксимации разностных схем будем предполагать,
что решение
и(х, t)
обладает необходимым по ходу изложения чис
лом производных по
х
и по
t.
Решение задачи (1) — (3) удовлетво
ряет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от на
чальных и граничных данных.
2. Явная схема. Как всегда, для построения разностной схемы
надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых
переменных и задать шаблон, т. е. множество точек сетки, участ
вующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем
сетку по переменному л; такую же, как и в § 3, т. е.
<
i>h={Xi = ih,
( = 0, 1 ,... ,
М, hN
= 1},
и сетку по переменному ( с шагом т, которую обозначим
шт = {(п = /гт,
п =
0, 1, . . . ,
К, Кт = Т}.
272
Точки (x;,
in),
i = 0, 1, . . . ,
N,
n = 0, 1
К,
образуют узлы прост
ранственно-временной сетки соЛг = соЛХсот (см. рис. 10). Узлы (х,-,
t
n) , принадлежащие отрезкам / (,= ( О ^ х ^ 1, / = 0}, / 4= {х = 0, 0 ^ / ^ :
^ Т } ,
/ 2= {х= 1,
O ^ t ^ T } ,
называются
граничными узлами
сетки (оЛ>т> а осталь
ные узлы —
внутренними.
На рис. 10 гра
ничные узлы обозначены крестиками,
а внутренние — кружочками.
Слоем
называется множество всех уз
лов сетки иЛ|Т, имеющих одну и ту же
временную координату. Так,
п
-м слоем
называется множество узлов
(
Ху
,
С
) , (х4,
С)
1
* * * j
(хн, tny.
Для функции
у(х, t),
определенной на
сетке (щ,Т) введем обозначения
у^=
= у(хи tn),
Do'stlaringiz bilan baham: |
