А. А. Самарский, А. В. Гулин


) a>h={Xi = ih, i = 0, 1, . .. ,  N, hN = l). 262



Download 18,25 Mb.
Pdf ko'rish
bet157/257
Sana19.04.2022
Hajmi18,25 Mb.
#562450
1   ...   153   154   155   156   157   158   159   160   ...   257
Bog'liq
А. А. Самарский, А. В. Гулин

2
)
a>h={Xi = ih, i =
0, 1, . .. , 
N, hN = l).
262


U(_)/2, 
xi+t/2].
Далее, заменим интеграл
х <■ +'/,
j
q (х) и (х) dx
Х‘—'Л
Xi+'A
его приближенным значением 
щ

q(x)dx
и введем обозначения
x t - v .
Х ‘ +Уж
= j
j
Q(x)dx,
ф
i = ~
j
f(x)dx.
Xi-V, 
Xi-V,
(4 )
В результате вместо уравнения (3) получим уравнение
W,.i, --- W; ,,
----- ---------— — 
d m
+ фг = 0.
h
(5)
Выразим теперь 
wi±l/2
через значения функции 
и(х)
в точках сетки. 
Для этого проинтегрируем соотношение 
и'(х) =w( x) j k( x)
на отрез­
ке 
[xt-i, xf].
Тогда получим
Ui
— Wi-ji —
Г w
(л)
k ( х )
dx
: Wi-y,
j
dx
k
 (дс) ‘
Обозначая
(
6
)
получим 
щ U— “l~l ■= am-'., wi+l/2 = a(+luXii.
Подставляя эти выражения в уравнение (5), получим разност­
ное уравнение, содержащее значения искомой функции в точках 
xit
X,±i\
-j- (ai+1uXti
— 
щи-:)
— 
diui
+
(pi
= 0
или в сокращенной записи
(au-)Xil
— 
d ^ i
 + ф£ = 0. 
(
7
)
Это уравнение по своему построению является разностным ана­
логом основного дифференциального уравнения (1). Записывая 
уравнение 
(7) во 
всех 
точках сетки, в которых оно определено, т. е. 
при t= 1, 2 , . . . ,
N
— 1, получим систему из 
N
— 1 линейных алгебраи­
ческих уравнений относительно 
N +
1 неизвестных 
иа, и2, . . . , uN.
Два 
недостающих уравнения получаются путем аппроксимации гранич­
ных условий (2). Одним из этих уравнений является условие 
uN=
263


= p2, а второе может быть получено интегро-интерноляционным ме­
тодом. Для этого проинтегрируем основное уравнение (1) на отрез 
ке [0, *,/,], где х./2 = 0,5*:
*■/. 
ХУ,
w'A ~ wa
— J 
q (х) и (х) d
x
j
f(x)dx =
0. 
(8)
о 
о
Полагая, как и ранее, да,_1/2~
щи
- ., получим при i = I, что 
w ui =
= aiu - l.
Выражение для 
w0
следует из граничного условия при х =
= 0: ш0= —pj + puo- Наконец, полагая
*■/, 
*%

q (х) и (х) d x ^ ,u 0

q (х) dx,

0
получим из тождества (8) разностное уравнение
а
1
ихл~~$ио
+ И
1
 — 
и0
\ q ( x ) d x +

f (x)dx =
 0. 
(9)
о 
О
Обозначая
перепишем уравнение (9) в виде

й,их
0-Ь (|}-|-0,5
hda) и0 =
ц! + 0,5/кро.
Из этой записи видно, что полученное уравнение является разност­
ным аналогом граничного условия 
—k
(0) 
и'
(0) +

(0) = р,.
В дальнейшем решение разностной задачи в отличие от реше­
ния дифференциальной задачи будем обозначать буквой 
у,
так что 
у, — у
(х,-), х;есол. Объединяя все уравнения (7), (9), получаем сле­
дующую разностную схему для задачи (1), (2):
(ay-)x,i — diyi
+ ф£ = 0, 
t '= l , 2 ,
. . . , N
— 1, 
^
—а
1
Ух,о+ (р+0,5й^0) г/0 = р, + 0,5/цр0, 
yN =
р2.
При анализе разностной схемы (10), как впрочем и любой дру­
гой разностной схемы, возникают следующие вопросы: а) существо­
вание и единственность решения системы линейных алгебраических 
уравнений (10); б) каким методом надо отыскивать это решение; 
в) какое отношение имеет система разностных уравнений (10) к ис­
ходной задаче (1), (2), иначе говоря, переходит ли разностное урав­
нение (10) в уравнение (1), если шаг сетки 
h
стремится к нулю? 
Это вопрос об аппроксимации дифференциальной задачи (1), (2) 
разностной схемой (10); г) сходится ли решение 
у(х)
разностной 
задачи к решению 
и{х)
дифференциальной задачи при й-И)?
На первые два вопроса можно ответить немедленно. Разностная 
задача (10) является типичным примером задачи, которая решает­
264


ся методом прогонки, изложенным в п. 7 § 4 ч. I. Систему уравнений
(10) можно записать в виде
А {у{- — С(у, + Вху<+1 = — Fu
£ = 1 , 2 , . . . ,
М—
1,
Уо
= «l^/i + P i, 
0л/ =
где
А {= аи В{ = а{+и Ci = ai+ a i+l + h1di, F ^ h ? ^ ,
*2 = 0,
х __ _____________ !____________
~ _ h (Ц 4 + 0,5/кро)

1 + Ae^1 (Р + 0,5Arf0) ’ И 
а,
Из условий щ >0, (З^О, 
d ^ O
следует, что 
C ^ A ^ B i X ) ,
т. е. вы­
полнены условия устойчивости прогонки. Поэтому разностная зада­
ча (10) однозначно разрешима и ее можно решать методом прогон­
ки по формулам (44) — (46) из § 4 ч. 1.
Вопросы аппроксимации и сходимости обсуждаются в следую­
щем параграфе.

Download 18,25 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   153   154   155   156   157   158   159   160   ...   257




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish