2
)
a>h={Xi = ih, i =
0, 1, . .. ,
N, hN = l).
262
U(_)/2,
xi+t/2].
Далее, заменим интеграл
х <■ +'/,
j
q (х) и (х) dx
Х‘—'Л
Xi+'A
его приближенным значением
щ
i
q(x)dx
и введем обозначения
x t - v .
Х ‘ +Уж
= j
j
Q(x)dx,
ф
i = ~
j
f(x)dx.
Xi-V,
Xi-V,
(4 )
В результате вместо уравнения (3) получим уравнение
W,.i, --- W; ,,
----- ---------— —
d m
+ фг = 0.
h
(5)
Выразим теперь
wi±l/2
через значения функции
и(х)
в точках сетки.
Для этого проинтегрируем соотношение
и'(х) =w( x) j k( x)
на отрез
ке
[xt-i, xf].
Тогда получим
Ui
— Wi-ji —
Г w
(л)
k ( х )
dx
: Wi-y,
j
dx
k
(дс) ‘
Обозначая
(
6
)
получим
щ U— “l~l ■= am-'., wi+l/2 = a(+luXii.
Подставляя эти выражения в уравнение (5), получим разност
ное уравнение, содержащее значения искомой функции в точках
xit
X,±i\
-j- (ai+1uXti
—
щи-:)
—
diui
+
(pi
= 0
или в сокращенной записи
(au-)Xil
—
d ^ i
+ ф£ = 0.
(
7
)
Это уравнение по своему построению является разностным ана
логом основного дифференциального уравнения (1). Записывая
уравнение
(7) во
всех
точках сетки, в которых оно определено, т. е.
при t= 1, 2 , . . . ,
N
— 1, получим систему из
N
— 1 линейных алгебраи
ческих уравнений относительно
N +
1 неизвестных
иа, и2, . . . , uN.
Два
недостающих уравнения получаются путем аппроксимации гранич
ных условий (2). Одним из этих уравнений является условие
uN=
263
= p2, а второе может быть получено интегро-интерноляционным ме
тодом. Для этого проинтегрируем основное уравнение (1) на отрез
ке [0, *,/,], где х./2 = 0,5*:
*■/.
ХУ,
w'A ~ wa
— J
q (х) и (х) d
x
j
f(x)dx =
0.
(8)
о
о
Полагая, как и ранее, да,_1/2~
щи
- ., получим при i = I, что
w ui =
= aiu - l.
Выражение для
w0
следует из граничного условия при х =
= 0: ш0= —pj + puo- Наконец, полагая
*■/,
*%
^
q (х) и (х) d x ^ ,u 0
^
q (х) dx,
6
0
получим из тождества (8) разностное уравнение
а
1
ихл~~$ио
+ И
1
—
и0
\ q ( x ) d x +
^
f (x)dx =
0.
(9)
о
О
Обозначая
перепишем уравнение (9) в виде
—
й,их
0-Ь (|}-|-0,5
hda) и0 =
ц! + 0,5/кро.
Из этой записи видно, что полученное уравнение является разност
ным аналогом граничного условия
—k
(0)
и'
(0) +
$и
(0) = р,.
В дальнейшем решение разностной задачи в отличие от реше
ния дифференциальной задачи будем обозначать буквой
у,
так что
у, — у
(х,-), х;есол. Объединяя все уравнения (7), (9), получаем сле
дующую разностную схему для задачи (1), (2):
(ay-)x,i — diyi
+ ф£ = 0,
t '= l , 2 ,
. . . , N
— 1,
^
—а
1
Ух,о+ (р+0,5й^0) г/0 = р, + 0,5/цр0,
yN =
р2.
При анализе разностной схемы (10), как впрочем и любой дру
гой разностной схемы, возникают следующие вопросы: а) существо
вание и единственность решения системы линейных алгебраических
уравнений (10); б) каким методом надо отыскивать это решение;
в) какое отношение имеет система разностных уравнений (10) к ис
ходной задаче (1), (2), иначе говоря, переходит ли разностное урав
нение (10) в уравнение (1), если шаг сетки
h
стремится к нулю?
Это вопрос об аппроксимации дифференциальной задачи (1), (2)
разностной схемой (10); г) сходится ли решение
у(х)
разностной
задачи к решению
и{х)
дифференциальной задачи при й-И)?
На первые два вопроса можно ответить немедленно. Разностная
задача (10) является типичным примером задачи, которая решает
264
ся методом прогонки, изложенным в п. 7 § 4 ч. I. Систему уравнений
(10) можно записать в виде
А {у{- — С(у, + Вху<+1 = — Fu
£ = 1 , 2 , . . . ,
М—
1,
Уо
= «l^/i + P i,
0л/ =
где
А {= аи В{ = а{+и Ci = ai+ a i+l + h1di, F ^ h ? ^ ,
*2 = 0,
х __ _____________ !____________
~ _ h (Ц 4 + 0,5/кро)
1
1 + Ae^1 (Р + 0,5Arf0) ’ И
а,
Из условий щ >0, (З^О,
d ^ O
следует, что
C ^ A ^ B i X ) ,
т. е. вы
полнены условия устойчивости прогонки. Поэтому разностная зада
ча (10) однозначно разрешима и ее можно решать методом прогон
ки по формулам (44) — (46) из § 4 ч. 1.
Вопросы аппроксимации и сходимости обсуждаются в следую
щем параграфе.
Do'stlaringiz bilan baham: |