|
—
и,
[•Ч-i, -Ч+i]- Обозначим
и{=и(х(), ux j =
■
-----------,
и- . —
---------- - ,
h
*
X ' 1
h
..
_
il
о ns
“ '« ■
x . i
2
h
Разностные отношения
ux u-
., ы-. называются соответственно
X'1
X,l
правой, левой и центральной разностными производными функции
и(х)
в точке
Хг.
Каждое из этих разностных отношений аппроксими
рует
и’(х)
в точке
хи
т. е. при фиксированном
xt
и при
h->
0 (тем са
мым при i-v«зо) пределом этих отношений является
и' (х,).
Проводя
разложение по формуле Тейлора, получим
ux,i
—
и’ (х,-) —
0,5
hu"
(Xi)
+
О (h2),
и- .
—
и' (xi)
= — 0,5
hu" (xi)
+
0 (h2),
и -
. —
и' (xi)
= 0
(h?).
Отсюда видно, что левая и правая разностные производные ап
проксимируют
и'(х)
с первым порядком по
h,
а центральная раз-
9*
259
н о с т н а я п р о и з в о д н а я — с о в т о р ы м п о р я д к о м . Н е т р у д н о п о к а з а т ь ,
ч т о в т о р а я р а з н о с т н а я п р о и з в о д н а я
аппроксимирует
и " (xt)
со вторым порядком по /г, причем справед
ливо разложение
u x x . i — и “ ( х ‘) —
"
u W ( х д
+
0
(/г4)-
Рассмотрим дифференциальное выражение
1 м = —
dx
(О
с переменным коэффициентом
k(x).
Заменим выражение (1) раз
ностным отношением
Lhu =
(
au-)Xti
=
■ —
at
(
2
)
где
а = а(х)
— функция, определенная на сетке оц. Найдем условия,
которым должна удовлетворять функция
а(х)
для того, чтобы от
ношение
{au~)Xii
аппроксимировало (
ku
') ' в точке
x t
со вторым по
рядком по
h.
Подставляя в (2) разложения
U x ,i = Щ
4- —-
Ui
-j-—
Ui
4-
О
(
h
3),
2
6
,
h
»,
h
2
, r \
ч\
и*.с = u i — ^ и<
-
+ —
Ui
+
О
(
h
3),
где
и / = и '(х
,), получим
Lhu ■
щ
+
a u i +
a i
щ
+ - K + 1
а‘-
U i
+
о
(h>).
С другой стороны,
Lu = [ku')' = ku"-\-k'u',
т. е.
Luu
—
Lu (xi)
=
a i + i
a *
u ‘ \
I
/
a i
и
1 ..
I
---------------------
ki \
U i
-f*
(----- -------—
k[
U i
-f-
h
K +i -
ai> ui
+
0 (h2).
Отсюда видно, что
Lhu—Lu = 0 (h
2) , если выполнены условия
:£'(*<) 4
- 0 ( h 2),
ai+i +
ai
: k i+ 0 { h 2).
(3)
Условия (3) называются
достаточными условиями второго по
рядка аппроксимации.
При их выводе предполагалось, что функция
и(х)
имеет непрерывную четвертую производную и
k(x)
— диффе-
260
ренцируемая функция. Нетрудно показать, что условиям (3) удо
влетворяют, например, следующие функции:
at = 0,5 (ft (хг) +
k{Xi-x)),
di = k (Xi
— 0,5/t), a*
— V k (xt)
ft ()Сц).
Заметим, что если положить
а{= к (х 2),
то получим только пер
вый порядок аппроксимации. В § 2 будет рассмотрен регулярный
метод получения разностных аппроксимаций вида (2).
В качестве следующего примера рассмотрим разностную ап
проксимацию оператора Лапласа
Lu
d2u
,
Э2ц
(4)
Введем на плоскости
(xlt хг)
пря
моугольную сетку с шагом
по на
правлению
1
, и с шагом /г2 по направ
лению
хг,
т. е. множество точек
«/г = {(*1,
х'2)
I
х\
=
ihu xi
=
jh
2;
i, j =
0,
± 1 , ± 2 , ...}
(см. рис. 9), и обозначим
U X lX l,ij
^ 2
’
^X2X,
, ['/
ui,i
+1
^uij
ui,/-i
hi
г
■
J
1
j r J
i
1
\
.
:
:1
А?
!
:
:
L
в
h 1 \
* 1
.
1
i
1
:___ ,___ 1
Рис. 9. Сетка <вл и пятиточеч
ный шаблон
Из предыдущих рассуждений следует, что разностное выраже
ние
L'^ i
= “* w / + “W /
(5)
аппроксимирует дифференциальное выражение (4) со вторым по
рядком, т. е.
LhUij
—
Lu (х[, х{)
=
О
(
h\
) +
О (hi).
Более того, для функ
ций
u (xlt х2),
обладающих непрерывными шестыми производными,
справедливо разложение
LhUij
—
Lu (х[, xi)
=
hi д*и(х[, х{)
h\ д*а{ х\ , х{)
12
дх\
+
12
д х \
+
О
( h i
+
h $ ) .
Разностное выражение (5) называется
пятиточечным разност
ным оператором Лапласа,
так как оно содержит значения функции
и (хи х2)
в пяти точках сетки, а именно в точках
(х[, х{), (xi~l, xi),
(х\, x i±l)
(см. рис. 9). Указанное множество точек называется
шаб
лоном
разностного оператора. Возможны разностные аппроксима
ции оператора Лапласа и на шаблонах, содержащих большее число
точек.
261
§ 2. Построение разностных схем интегро-интерполяционным
методом
1. Построение разностной схемы. Задачи математической фи
зики формулируются в виде основного дифференциального уравне
ния и дополнительных (начальных, граничных) условий, обеспечи
вающих существование и единственность решения. Типичными при
мерами являются: задача Дирихле для уравнения Лапласа, задача
Коши и смешанные задачи для уравнений параболического и гипер
болического типов. Под
разностной схемой
понимают совокупность
разностных уравнений, аппроксимирующих основное уравнение и
дополнительные условия исходной дифференциальной задачи. Су
ществуют различные способы построения разностных схем. В этом
параграфе будет рассмотрен один из способов, носящий название
интегро-интерполяционного метода
(или
метода баланса
) построе
ния разностных схем.
В качестве примера рассмотрим применение интегро-интерполя
ционного метода к построению разностной схемы следующей крае
вой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения вто
рого порядка:
где
k(x), q(x), f(x)
— заданные достаточно гладкие функции, удо
влетворяющие условиям
k ( x ) '^ k ,> 0 , q(x)~^0,
и
щ, ц2 — за
данные числа. При сформулированных предположениях существует
и единственно решение
и(х)
задачи (1), (2). Будем считать, что это
решение является достаточно гладким.
Уравнение (1) можно трактовать как уравнение установившего
ся распределения температуры
и(х)
в стержне длины
I,
на одном
конце которого
(х = 1
) поддерживается заданная температура ц2,
а на другом (х = 0) происходит теплообмен с окружающей средой
по закону Ньютона (см. [41]). При этом
k ( x )
— коэффициент тепло
проводности, —
k(x)u' (x) —
тепловой поток, коэффициенты
q(x),
f(x)
характеризуют плотность тепловых источников.
Для построения разностной схемы введем прежде всего на от
резке [0, /] равномерную сетку с шагом
h,
т. е. множество точек
Обозначим
xi±i/2 =
X i ±
0
,
5
h ,
w(x) =k( x) u' ( x) , wi±U2 = w( x i±t/2)
и
проинтегрируем уравнение (1) на отрезке [х4_1/2,
xi+U2].
Тогда по
лучим уравнение
которое представляет собой уравнение баланса тепла на отрезке
(k(x)u' (x)) ' — q( x ) u( x ) +f ( x )
=0,
0 < х < /,
—
k{Q)u'{0)
+ 0ы(О) = ш,
ы (/)= ц 2,
О)
(
Do'stlaringiz bilan baham: |
