А. А. Самарский, А. В. Гулин

e iih,f, 
получим
q -
1 _ / ,ф- 2
+ e~ihv
г
 О
 
*
х 
hr
откуда найдем
Я —
1 
4ysia2^ L , 
У = ^ .
(И)
Начальные условия 
z/° (ф) 
=е'м ,
соответствующие решениям 
вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для не­
которого ф множитель 
q
станет по модулю больше единицы, то ре­
шение вида (10) будет неограниченно возрастать при 
п - + о о .
В этом случае разностное уравнение (9) называется 
неустойчивым,
поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от 
начальных условий. Если же | ^ | ^ 1 для всех действительных <р, то
275

---

все решения вида (10) ограничены при любом 
п
и разностное урав­
нение (9) называется 
устойчивым.
В случае неустойчивости найти 
решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически не­
возможно, так как погрешности (например погрешности округле­
ния), внесенные в начальный момент времени, будут неограничен­
но возрастать при увеличении 
п.
Такие разностные схемы называ­
ются 
неустойчивыми.
Для уравнения (9) неравенство |< 7|^1 выполняется согласно 
(11) при всех ф тогда и только тогда, когда ^ ^ 0 ,5 . Таким образом, 
использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия 
т^ 0 ,5 /г2. Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором огра­
ничении на отношение шагов по пространству и по времени, назы­
ваются 
условно устойчивыми.
Следовательно, схема (6) условно 
устойчива, причем условие устойчивости имеет вид 
х/к2^.0,5.
Ус­
ловно устойчивые схемы для уравнений параболического типа ис­
пользуются редко, так как они накладывают слишком сильное 
ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, 
h —
10-2. Тогда шаг т не должен превосходить 0,5 -10-4, и для того 
чтобы вычислить решение 
у*
при 
t=
1, надо взять число шагов по 
времени 
n=x~l^ 2 -
104, т. е. провести не менее 2-104 вычислений 
по формулам (7). В следующем пункте будет показано, что многие 
неявные схемы лишены этого недостатка и являются устойчивыми 
при любых шагах 
h
и т. Такие схемы называются 
абсолютно ус­
тойчивыми.
3. Неявные схемы. 
Чисто неявной разностной схемой
для урав­
нения теплопроводности (схемой с опережением) называется раз­
ностная схема, использующая шаблон (
xitt
n), 
(xi±l, t n+l), (хи tn+l)
(см. рис. 11, б) и имеющая вид