А. А. Самарский, А. В. Гулин

метода
Рис. 7. Граница устойчивости
и полагая 
q=e
,ф, находим уравнение границы, разделяющей об­
ласти устойчивости и неустойчивости:
Р =
—
~
(1 
—
а
)3 
(З
а
+ 1) ±
i
(6
а
3 — 16
а
2 + 15
а
— 8),
и 
3
где 
а
= cos ср (см. рис. 
8
). В отличие от предыдущего примера, име­
ются точки границы, расположенные в левой полуплоскости. По­
этому метод (
2 1
) не является Л-устойчивым.
Рис. 8. Граница устойчивости мето­
да (21)
Найдем теперь значение 
а
, 
при котором метод (
2 1
) Л (а)- 
устойчив. Для этого достаточно 
найти угол 
а,
который образует 
касательная 
q
(см. рис. 
8
), про­
ходящая через точку (
0
, 
0
), с 
отрицательным 
направлением 
оси р0.
Обозначим
P o W = - 4 ( 1- x)3(3 x + 1)-
____ _ 
(32)
Hi(x)=^V l ~ x2
(6
а
3— I 6
а
2+1 5
а
—8).
3
Условие касания ^ с границей определяется следующим уравнени­
ем относительно параметра 
а
:
P
i
(
а
) _ 14 (Л
Ро 
(
а
)
Р
о
(
а
)
(33)
9 А. А. Самарский, А. В. Гулин
2 5 7

---

(34)
Из (32) получим
Ро (■*) =
8х
(1
— 
x f ,
В W =
— 8 х 4 + I6 * 3 — 4л:2 — 8л: + 5
У Т ^ Т 2
Уравнение (33) после подстановки в него выражений для р.0> 
Ро, Hi, Pi из (32), (34) и приведения подобных членов сводится к 
линейному уравнению 
х
—0,2 = 0. При х = 0,2 из (32) получим
4 5
 
_
 
/ 2 4
• 
6 9 9
_
 
3
• 
5
«
’ 
f i l
3
■ 
Ь*
так что
tg a = В .
Ро
V
6 • 699 
5 1 2
> 1 ^6 .
Поэтому метод (21) 
А (а)
-устойчив, где ос = arctg Y
6
»
68
°.
В заключение отметим, что подробное изложение численных ме­
тодов решения жестких систем дифференциальных уравнений со­
держится в книгах [26, 37].

---

Ч А С Т Ь III
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Здесь излагаются приближенные методы решения краевых за­
дач для уравнений с частными производными. В основе этих мето­
дов лежит сведение дифференциальной задачи к системе линейных 
алгебраических уравнений путем замены дифференциального опе­
ратора разностным.
Г Л А В А 1 
ВВОДНЫЕ 
понятия
§ 1. Примеры разностных аппроксимаций
Различные способы приближенной замены одномерных диффе­
ренциальных уравнений разностными изучались в § 4 ч. I. Напом­
ним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые 
обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом 
h,
т. е. множество точек
(oh = {Xi = ih, i = 0, ± 1 , ±2, ...}.
Пусть 
и ( х )
— достаточно гладкая функция, заданная на отрезке
и,
 
—
и, 
и,