9-7-btus-20 guruh talabasi 3-kurs talabasining oliy matematika fanidan mustaqil ishi bajardi: Radjabova A. A reja

Teorema. Agar a > 0 va a 1 bo’lsa, quyidagi
f(x) = ax, x ∈ Q ,
barcha ratsional sonlar to’plamida aniqlangan funksiya har bir x ∈ R nuqtada limit qiymatga egadir.
Isbot. Avval f(x) = ax funksiyaning monoton ekanini ko’rsataylik. Aytaylik a > 1 bo’lsin. Agar x ∈ Q va y ∈ Q bo’lib, x < y bo’lsa, h = y − x > 0 deb belgilab, yordamida quyidagi

munosabatga ega bo’lamiz, ya’ni bu holda f(x) funksiya qat’iy o’suvchi bo’lar ekan. Xuddi shunga

o’xshab, a < 1 bo’lganda bu funksiyaning qat’iy kamayuvchi ekani ko’rsatiladi.
Har qanday monoton funksiya singari, funksiya ham har bir c ∈ R nuqtada chap f(c − 0)
va o’ng f(c + 0) limitlarga ega (bu tasdiq 3.4.1 - teoremaning isbotini so’zma-so’z qaytarish orqali isbotlanadi).
Endi bu limitlarning o’zaro tengligini isbotlaymiz. Aytaylik, {xn} va {yn} ratsional sonlar ketma-ketligi c ga yaqinlashib, x_n < c < y_n tengsizlikni qanoatlantirsin.
Shunday ekan, h_n = y_n − x_n desak,

tenglik hosil bo’ladi.
Shartga ko’ra, har bir xn son har qanday ym dan kichik, xususan, xn < y1 . Demak, axn ketma-ketlik chegaralangan. Bundan chiqdi, oxirgi tenglikda n → ∞ deb limitga o’tsak, qayd qilingan
f(c + 0) − f(c − 0) = 0
tenglikni olamiz. Bu tenglik esa limit qiymatning har bir c ∈ R nuqtada mavjudligini anglatadi.
Agar c - ratsional son bo’lsa,
f(c − 0) ≤ f(c) ≤ f(c + 0)
munosabat va tenglikdan
f(c − 0) = f(c) = f(c + 0)
tenglikni olamiz, qaysiki, o’z navbatida, f funksiyaning c nuqtada uzluksizligini anglatadi. Endi biz ko’rsatkichli funksiyani istalgan irratsional nuqtada uning qiymatini limit qiymatga teng deb aniqlashimiz mumkin.
Ta’rif. Agar a > 0, a 1 bo’lsa, istalgan irratsional x son uchun

deb hisoblaymiz.
Shunday qilib, biz asosning a > 0, a 1 bo’lgan barcha qiymatlari
uchun ko’rsatkichli ax funksiyani R sonlar o’qining hamma nuqtalarida aniqladik.