9-7-btus-20 guruh talabasi 3-kurs talabasining oliy matematika fanidan mustaqil ishi bajardi: Radjabova A. A reja

Ta’rif (Koshi (A.L.Cauchy)). Berilgan f funksiya a nuqtaning shu nuqtani o’zi kirishi shart bo’lmagan biror atrofida aniqlangan bo’lib, b biror haqiqiy son bo’lsin. Agar istalgan ε > 0 olganda ham shunday δ > 0 topilsaki,

shartni qanoatlantiruvchi argumentning barcha x qiymatlari uchun

tengsizlik bajarilsa, b sonini f funksiyaning a nuqtadagi limit qiymati deymiz.

Ta’rif (H.E.Heine). Berilgan f funksiya a nuqtaning biror o’ng yarim atrofida aniqlangan bo’lib, b biror haqiqiy son bo’lsin. Agar a ga yaqinlashuvchi va x_n > a shartni qanoatlantiruvchi argumentning istalgan x_n ketma-ketligi uchun unga mos f(x_n) qiymatlar ketma-ketligi b ga yaqinlashsa, u holda b sonini f funksiyaning a nuqtadagi o’ng limiti deymiz. Agar b soni f funksiyaning a nuqtadagi o’ng limiti bo’lsa,

kabi yoziladi.

Ba’zan bundanda qisqa belgilashdan ham foydalaniladi.
Ta’rif (Koshi (A.L.Cauchy)). Berilgan f funksiya a nuqtaning biror o’ng yarim atrofida aniqlan gan bo’lib, b haqiqiy son bo’lsin. Agar istalgan ε > 0 olganda ham shunday δ > 0 topilsaki,
a < x < a + δ
shartni qanoatlantiruvchi argumentning barcha x qiymatlari uchun


|f(x) − b| < ε

tengsizlik o’rinli bo’lsa, b son f funksiyaning a nuqtadagi o’ng limiti deyiladi.

Xuddi shu singari, funksiyaning a nuqtadagi Koshi bo’yicha chap limiti b ta’riflanadi:
(∀ε > 0)(∃δ > 0) : [x ∈ D(f)] ∧ [a − δ < x < a] ⇒ [|f(x) − b| < ε].


7 - misol. Quyidagi ratsional funksiya
f(x) = , x 0
x → +∞ da 0 ga teng bo’lgan limitga ega. Bu tasdiqning haqligi istalgan x_n → +∞ ketma-ketlik uchun unga mos {f(x_n} ketma-ketlik nolga intilishidan kelib chiqadi:

Agar funksiya quyidan chegaralanmagan to’plamda aniqlangan bo’lsa, xuddi yuqoridagi singari, x → −∞ da Heine va Koshi ma’nosida limit tushunchalari kiritiladi. Bu ikki limit ta’riflari teng kuchli bo’lishi aniq. Agar b son f(x) funksiyaning x → −∞ dagi limiti bo’lsa,

kabi yoziladi.
8 - misol. Quyidagi

funksiya x → +∞ da 1 ga teng bo’lgan limitga ega:

x → −∞ da esa, −1 ga teng bo’lgan limitga ega:

Keltirilgan tengliklarni isbotlash uchun funksiyani x > 0 bo’lganda

ko’rinishda va x < 0 bo’lganda esa,

ko’rinishda yozib olib, xulosasini qo’llash yetarli.

Shunday qilib, bu misolda yuqoridagi ikki limit har xil bo’lib chiqdi.
Agar f(x) funksiyaning ham x → +∞ dagi, ham x → −∞ dagi limitlari mavjud bo’lib, bitta b soniga teng bo’lsa, bu b soni f(x) funksiyaning x → ∞ dagi limiti deyiladi va

k abi yoziladi.

Ba’zan

belgilashdan ham foydalaniladi.