9-7-btus-20 guruh talabasi 3-kurs talabasining oliy matematika fanidan mustaqil ishi bajardi: Radjabova A. A reja

f(E) = { f(x) : x ∈ E }
kabi belgilanadi.
Ta’rif. Agar f funksiya va E ⊂ D(f) to’plam berilgan bo’lib, f(E) to’plam yuqoridan chegaralangan bo’lsa, u holda f funksiya E to’plamda yuqoridan chegaralangan deb ataladi.Bunda f(E) to’plamning aniq yuqori chegarasi f funksiyaning E to’plamdagi aniq yuqori chegarasi deb ataladi va

kabi belgilanadi.

Quyidan chegaralangan funksiya xuddi shunga o’xshab aniqlanadi.
Ta’rif. Agar f funksiya va E ⊂ D(f) to’plam berilgan bo’lib, f(E) to’plam quyidan chegaralangan bo’lsa, u holda f funksiya E to’plamda quyidan chegaralangan deb ataladi.Bunda f(E) to’plamning aniq quyi chegarasi f funksiyaning E to’plamdagi aniq quyi chegarasi deb ataladi va

kabi belgilanadi.

Biror to’plamda bir vaqtning o’zida ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan funksiya shu to’plamda chegaralangan deb ataladi.
Elementar funksiyalarning uzluksizligi
Ratsional ko’rsatkichli darajali funksiya.
Biz natural ko’rsatkichli darajali funksiyalarni o’rganishdan boshlaymiz:
p_n(x) = xⁿ,
bu yerda n - natural son. Ushbu funksiya ko’phad bo’lib, butun sonlar o’qi R da tabiiy ravishda aniqlangan. Bundan tashqari, bu funksiya R da uzluksizdir.
Ushbu bandda biz funksiyani manfiy bo’lmagan [0, +∞) yarim to’gri chiziqda berilgan deb hisoblaymiz. Shubhasiz, bu yarim to’gri chiziqda darajali funksiya qat’iy o’suvchi va, shu sababli, u teskarilanuvchi bo’ladi. Hosil bo’lgan teskari funksiya teoremaga asosan uzluksizdir. Biz uni quyidagicha belgilaymiz:
f⁻¹(y) = .
Agar bu tenglikda y argumentni odatdagi x orqali belgilasak, funksiyaga teskari funksiya
ko’rsatkichli quyidagi

darajali funksiya bo’ladi. Bundan tashqari,

bo’lgani uchun, manfiy bo’lmagan yarim to’gri chiziqda aniqlangan funksiyaning qiymatlar to’plami ham manfiy bo’lmaga yarim to’gri chiziq bo’ladi. Demak, darajali funksiya [0, +∞) yarim to’gri chiziqda aniqlangan ekan. Teskari funksiyaning ta’rifiga ko’ra, istalgan a ≥ 0 uchun

Agar belgilashdan foydalansak, bu tengliklarni quyidagi ko’rinishda yozish ham mumkin:

Manfiy bo’lmagan sonni a ≥ 0 sondan olingan arifmetik ildiz ham deb atashadi va


Ko’rsatkichli funksiya. Ushbu bandda ixtiyoriy a > 0 uchun
funksiyani o’rganamiz. Avvalgi bandda biz bu funksiyani a > 0 ixtiyoriy haqiqiy son bo’lganida barcha ratsional x ∈ Q ko’rsatkichlar uchun aniqlagan edik. Bizning galdagi vazifamiz bu funksiyani ko’rsatkich ixtiyoriy haqiqiy son, ya’ni x ∈ R bo’lgan holga ham aniqlashdir. Buning uchun biz avval funksiya har bir irratsional nuqtada limit qiymatga ega ekanligini ko’rsatib, so’ngra o’sha nuqtada uni ana shu limit qiymatga teng deb aniqlaymiz.
Limit qiymat mavjudligining isboti quyidagi tasdiqlarga asoslanadi.
Agar a > 0 bo’lsa,

bo’ladi.
Isbot. Agar a > 1 bo’lsa, biz biror b > 0 uchun a = 1+b deb yozishimiz mumkin. U holda, ga ko’ra, istalgan natural n uchun

Shunday ekan, darajali funksiyaning monotonligiga asosan,

ya’ni

Avvalgi belgilashga o’tsak ko’ra,

Bundan a > 1 bo’lganda lemmaning tasdig’ini olamiz. Agarda a < 1 bo’lsa, isbotlanganga asosan,

va talab qilingan munosabat tenglikdan kelib chiqadi.
Natija. Agar r_k ratsional sonlar ketma-ketligi nolga intilsa,

tenglik bajariladi.
Haqiqatan, agar r_k > 0 bo’lsa, cheksiz katta nk ketma-ketlikni r_k < shartdan tanlab olsak, a > 1 lar uchun

tengsizlikni va 0 < a < 1 lar uchun esa,

tengsizlikni olamiz. Bundan har ikki holda ham tenglik kelib chiqadi. Agarda r_k < 0 bo’lsa, talab qilingan natijani olish uchun ar = 1/a^-r tenglikdan foydalanish kifoya.