9-7-btus-20 guruh talabasi 3-kurs talabasining oliy matematika fanidan mustaqil ishi bajardi: Radjabova A. A reja

Ta’rif (H.E.Heine). Berilgan f funksiya a nuqtaning shu nuqtani o’zi kirishi shart bo’lmagan biror atrofida aniqlangan bo’lsin. Agar a ga yaqinlashuvchi va x_n a shartni qanoatlantiruvchi argumentning ixtiyoriy xn ketma-ketligi uchun f(x_n) qiymatlar ketma-ketligi biror b soniga yaqinlashsa, ana shu b sonini f funksiyaning a nuqtadagi limit qiymati deymiz. Agar b soni f funksiyaning a nuqtadagi limit qiymati bo’lsa,

deb yoziladi.
Shuni aytish kerakki, ta’rifdagi x_n a shart qaralayotgan funksiyaning a nuqtada aniqlanmagan bo’lishiga imkon beradi (bu holni yuqoridagi misolga ko’rdik). Agarda f funksiya a nuqtada aniqlangan bo’lsa, qayd etilgan shartdan f funksiyani a nuqtadagi limit qiymatining, umuman aytganda, f(a) bilan ustma-ust tushmasligi kelib chiqadi.
Funksiyaning a nuqtadagi limit qiymatini funksiyaning a nuqtadagi limiti ham deb ataladi. Sonlar o’qining har bir nuqtasida limit qiymatga ega bo’lgan funksiyaga misol sifatida, barcha x ∈ R larda bitta c qiymatni qabul qiladigan, f(x) = c o’zgarmas funksiyani olishimiz mumkin. Ravshanki, har bir a ∈ R nuqtada bu funksiyaning limit qiymati c ga teng. Navbadagi misol ko’rinishdan ancha sodda bo’lishiga qaramasdan juda muhimdir.
5 - misol. Quyidagi
f(x) = x
birlik funksiya butun sonlar o’qida aniqlangan bo’lib, istalgan a ∈ R nuqtadagi uning limit qiymati a ga tengdir:

Limit nuqta ta’rifidagi yana bir narsaga ahamiyat beraylik. Unda aytilishicha, argumentning a ga intiluvchi ixtiyoriy {xn} ketma-ketligi uchun {f(x_n)} ketma-ketlik b ga yaqinlashishi zarur. Endi 3 - misoldagi sign x funksiyani qaraylik. Agar biror {x_n} ketma-ketlik uchun x_n > 0 va x_n → 0 shartlar bajarilsa, sign xn = 1 bo’lib, shu sababli,

bo’ladi.
Agar boshqa biror ketma-ketlik hadlari y_n < 0 shartni qanoatlantirib, y_n → 0 bo’lsa, sign

y_n = −1 bo’ladi va shu sababli,

tenglik bajariladi.
1 - teorama. Agar

tengliklar o’rinli bo’ladi va c 0 bo’lgan holda

Isbot teoremalardan va limit qiymatning ta’rifidan kelib chiqadi.
Misol tariqasida quyidagi tenglikni isbotlaymiz:

Buning uchun biz a ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy {x_n} ketma-ketlikni qaraymiz.

tenglikni olamiz.