9- ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy nazariyasi. Kroneker – Kapelli teoremasi

Teorema. Chiziqli tenglamalar sitemasi o’zining bazis tenglamalar sitemasiga ekvivalent.

Soddalik uchun (1) sistemada birinchi ta tenglama bazis tenglama bo’lsin. Yuqorida keltirilgan teoremaga asosan

(4)

bazis tenglamalar sistemasi berilgan (1) sistemaga ekvivalent. Shuning uchun (1) tenglamalar sistemasi o’rniga uning rangiga teng bo’lgan (4) sistemani tadqiq etish yetarli.

O’z-o’zidan ko’rinadiki matritsaning rangi ustunlar sonidan katta emas, ya’ni . Boshqacha aytganda birgalikdagi sistemaning rangi noma’lumlar sonidan oshmaydi.

Bu yerda ikki hol bo’lishi mumkin:

1) ;

2) .

, ya’ni tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo’lsin. Bu holda (4) sistemning determinanti bazis minor bo’lganligi sababli, Kramer teoremasiga ko’ra (4) sistema, shu bilan birga (1) sistema yagona yechimga ega.

1-xulosa. Agar birgalikdagi sistemaning rangi noma’lumlar soniga teng bo’lsa, u holda sistema yagona yechimga ega bo’ladi.

bo’lsin. Tenglamalarda bazis noma’lumlar qatnashmagan barcha hadlarni uning o’ng tamoniiga o’tkazamiz. U holda (4) sistema

. (4´)

ko’rinishni oladi.

Agar erkin noma’lumlarga biror sonli qiymatlarni bersak, u holda (4) sistemani ta noma’lumli ta tenglamalar sitemasi sifatida qarash mumkin. Bu sistemaning determinanti bazis minor bo’lganligi sababli, unga Kramer qoidasini qo’llash mumkin va u yagona yechimga ega bo’ladi. U holda (4) sistemaning yechimi bo’lgan vektor, dastlabki (1) sistemaning ham yechimi bo’ladi (chunki ular ekvivalent). Erkin o’zgaruvchilar qiymatlarini ixtiyoriy bo’lganligi uchun (1) sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi.

2-xulosa. Agar sistemaning rangi noma’lumlar sonidan kichik bo’lsa, u holda sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi, shu bilan birga noma’lumlar ta erkin o’zgaruvchilar orqali chiziqli ifodalanadi.