9- ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy nazariyasi. Kroneker – Kapelli teoremasi

Yetarliligi. Aytaylik asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng,



(asosiy) matritsaning ta bazis ustunlarini ajratamiz, bular (kengaytirilgan) matritsaning ham bazis ustunlari bo’ladi. Faraz qilamiz birinchi ta ustun bazis bo’lsin.

Bazis minor haqidagi teoremaga asosan matritsaning oxirgi ustuni bazis ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishi mumkin. Bu esa

munosabatni
qanoatlantiruvchi mavjudligini bildiradi.

Oxirgi munosabat quyidagi ta tenglamalarga ekvivalent:

Agar (1) tenglamalar sistemasiga

, (3)

qo’ysak, u holda tenglamalar sistemasi (2) ga aylanadi. Bundan noma’lumlarning (3) qiymati (1) sistemadagi barcha tenglamalarni qanoatlantiradi, ya’ni sistema yechimga ega bo’ladi. Teorema isbotlandi.

Izoh. Ba’zan chiziqli tenglamalar sistemasini yechimini ta’minlaydigan shartni aniqlashdan ko’ra uni yechimga ega bo’lmaslik shartini topish osonroq.

Ushbu

,

matritsaviy ko’rinishdagi sistemani qaraymiz. Agar vektor sistemani qanoatlantirsa, u holda

munosabatni ham qanoatlantirishi kerak. Bu yerda - ixtiyoriy -o’lchovli vektor.

Agar biz

(3’)

munosabatni qanoatlantiruvchi vektorni topa olsak, u holda (3') ga ko’ra qarama-qarshilikka duch kelamiz: “nol teng bir”. Demak, (1') sistema yechimga ega bo’la olmaydi.

Aks holda (1') sistema haqiqatan ham yechimga ega.

Endi birgalikda bo’lgan

(1)

sistemani yoki matritsa ko’rinishida

(1')

tenglamalar sistemasini tadqiq etamiz.

Kroneker - Kapelli teoremasiga ko’ra bunday holatlarda sistemaning asosiy matritsasi rangi bilan uning kengaytirilgan matritsasining ranglari teng. qiymatini berilgan sistemaning rangi deb ataymiz. matritsaning biror bazis minorini belgilab olamiz. Bazis satrlarga mos bo’lgan tenglamalarni berilgan sistemaning bazis tenglamalari deb ataymiz. Bazis tenglamalar bazis sistemani tashkil etadi. Bazis ustunlarda qatnashgan noma’lumlarni bazis o’zgaruvchilar, qolganlarini ozod o’zgaruvchilar deb ataymiz.

Quyidagi tasdiq o’rinli.