9- ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy nazariyasi. Kroneker – Kapelli teoremasi

3-masala. Ushbu

sistemada:

a) noma’lumlarni bazis va erkin o’zgaruvchilarga ajratish usuli sonini aniqlang;

b) bazis yechimlarini toping.

Yechish. a) Mazkur sistemada ikkita tenglama va beshta noma’lum qatnashmoqda . Ko’rinib turibdiki, . Demak, noma’lumlarning bazis guruhlari ikkita noma’lumdan iborat. Bunda

.

Bunda guruhlar:

Bu juftliklarning qaysi birida no’malumlar oldidagi koeffitsentlardan tuzilgan determinant noldan farqli bo’lsa, o’sha juftlik noma’lumlari bazis o’zgaruvchi bo’la oladi. Shuning uchun quyidagi determinantlarni hisoblaymiz:



Demak, sistemani bazis va erkin o’zgaruvchilarga oltita usul bilan ajratish mumkin:

1) va - bazis, - erkin;

2) va - bazis, - erkin;

3) va - bazis, - erkin;

4) va - bazis, - erkin;

5) va - bazis, - erkin;

6) va - bazis, - erkin.

b) Berilgan sitemani bazis yechimlarini topamiz. Yuqoridagi a) punktda sistema oltita bazis yechimga ega ekanligini ko’rgan edik. Birinchi bazis yechimni topish uchun va bazis o’zgaruvchilarni o’zgarishsiz qoldirib, erkin o’zgaruvchilarni nolga tenglaymiz. Natijada sistemaga ega bo’lamiz va unig yechimi

Shunday qilib, birinchi bazis yechim .

Ikkinchi bazis yechimni topamiz. va - bazis, u holda erkin o’zgaruvchilarni nolga tenglab

sistemaga ega bo’lamiz va yechimi topamiz.

Shunday qilib, ikkinchi bazis yechim .

Xuddi shu usul bilan qolgan bazis yechimlarni ham topamiz:

; ; ; .

Aniq ta noldan farqli noma’lumdan tashkil topgan bazis yechimga xosmas bazis yechim deyiladi, bunda - sistemaning rangi.

Yuqorida qaralgan misoldagi barcha oltita yechim ham xosmas bazis yechim bo’ladi.

Ta’rifga ko’ra bazis yechimda erkin o’zgaruvchilar nolga teng, bazis yechimlar esa odatda noldan farqli. Lekin, bazis yechimning bazis o’zgaruvchilari ham nolga teng bo’lib qolishi mumkin. Bunday bazis yechimlar xos (maxsus) bazis yechimlar deb ataladi.