9- ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy nazariyasi. Kroneker – Kapelli teoremasi

1-masala. Ushbu tenglamalar sistemasini tadqiq qiling, agar birgalikda bo’lsa uni yeching:



Yechish. Berilgan sistemaning kengaytirilgan matritsasini tuzib olamiz

.

Sistemaning asosiy matritsasining rangini hisoblaymiz. Ko’rinib turibdiki yuqori chap burchakdagi ikkinchi tartibli minor uchun

tenglik o’rinli. Uni o’zida saqlovchi uchinchi tartibli minor uchun

tenglik o’rinli.

Demak, sistemaning asosiy matritsasining rangi ikkiga teng, ya’ni . Sistemaning kengaytirilgan matritsasi rangini topish uchun uning uchinchi ustun elementlarini ozod hadlar bilan almashtiramiz va

tenglikni hosil qilamiz. Bundan .

Shunday qilib, berilgan tenglamalar sistemasi birgalikda va ikkita tenglamani o’zida saqlaydi. Ikkita tenglama sifatida sistemadagi birinchi ikkita tenglamani olamiz, chunki bunda bazis minor yotibdi.

U holda

Bu sistemaga Gauss usuli yoki Kramer formulasini qo’llab sistemaning umumiy yechimini topamiz:

yoki deb belgilasak sistemaning quyidagi ko’rinishdagi umumiy yechimini hosil qilamiz

,

bunda - ixtiyoriy haqiqiy son.

Shunday qilib sistema cheksiz ko’p yechimga ega.

Masalan, bo’lsin u holda sistemaning xususiy yechimiga ega bo’lamiz. bo’lsin u holda berilgan sistemaning xususiy yechimini topamiz.