9- amaliy mashg‘ulot Tekislikda va fazoda vektor tushunchalari. Vektorning matritsaviy ko‘rinishi. Vektorlar ustida arifmetik amallar-vektorni songa ko‘paytirish, hamda vektorlarni qo‘shish va ayirish

** * * * * * * * *
Vektorlarni skalyar ko‘paytirish.
-Ta’rif. Ikki va vektorning skalyar ko‘paytmasi deb, bu vektorlar uzunliklarining ular orasidagi burchak kosinusi bilan ko‘paytmasiga teng bo‘lgan songa aytiladi va yoki bilan belgilanadi.
Ta’rifga ko‘ra
(9.3)
Skalyar ko‘paytma tushunchasining manbai mexanikadir. Haqiqatan, agar ozod vektor qo‘yilgan nuqta vektorning boshidan oxiriga siljuvchi kuchni tasvirlasa, bu kuch bajargan ish ushbu tenglik bilan aniqlanadi:

Agar ko‘paytmani ko‘rinishda yozib, ekanini nazarga olsak, ni hosil qilamiz.
ekanligini e’tiborga olsak, ni hosil qilamiz.
Demak,
(9.4)
formulalar o‘rinli. Boshqacha aytganda, ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi ulardan birining uzunligi miqdori bilan ikinchisining shu vektor yo‘nalishidagi proeksiysi ko‘paytmasiga teng.

2-chizma.
Agar ikki vektor orasidagi burchak ga teng bo‘lsa, ular ortogonal vektorlar deyiladi.
Skalyar ko‘paytmaning bir qator eng sodda xosalarini keltiramiz.
1-teorema. Agar bo‘lsa, u holda va vektorlar ortogonal bo‘ladi.
2-teorema. Har qanday vektorning shu vektorning o‘ziga skalyar ko‘paytmasi bu vektorning uzunligi kvadratiga teng, y’ni
(9.5)
3-teorema. Skalyar ko‘paytma o‘rin almashtirish qonuniga bo‘ysunadi, y’ni ixtiyoriy ikki va vektorlar uchun munosabat o‘rinli.
4-teorema. Skalyar ko‘paytma skalyar ko‘paytuvchiga nisbatan gruppalash qonuniga bo‘ysunadi, ya’ni munosabatlar o‘rinli.
5-teorema. Skalyar ko‘paytma qo‘shishga nisbatan taqsimot qonuniga bo‘ysunadi, y’ni ixtiyoriy uchta , va vektorlar uchun ushbu tenglik o‘rinli: