9- amaliy mashg‘ulot Tekislikda va fazoda vektor tushunchalari. Vektorning matritsaviy ko‘rinishi. Vektorlar ustida arifmetik amallar-vektorni songa ko‘paytirish, hamda vektorlarni qo‘shish va ayirish

Vektorlarning aralash ko‘paytmasi.
vektorlar tartiblangan uchligining aralash ko‘paytmasi deb, vektor bilan vektorning skalyar ko‘paytmasiga teng songa aytiladi va yoki kabi belgilanadi.
Aralash ko‘paytmaning miqdori nuqtai nazardan ma’nosini tekshiramiz. vektorlar komplanar bo‘lmagan vektorlar bo‘lsin. deb belgilasak, vektor miqdori va vektorlardan ysalgan parallelogram yuziga teng (4-chizma) bo‘lgani uchun skalyar ko‘paytma ta’rifiga ko‘ra


_4-chizma.
Ammo miqdorning moduli, y’ni son vektorlarga yasalgan parallelepipedning balandligini anglatadi.
Aralash ko‘paytmaning absolyut qiymati shu vektorlarga ysalgan parallelepiped hajmiga teng, y’ni
.
Aralash ko‘paytmaning ba’zi xossalarini keltiramiz.

1. 
   Ko‘paytmada ikki qo‘shni vektorning o‘rinlari almashtirilsa, aralash ko‘paytmaning ishorasi teskariga almashadi, y’ni quyidagi tengliklar o‘rinli:
   

Bu tengliklarning har biri bevosita aralash ko‘paytma ta’rifi va geometrik ma’nosidan foydalanib isbotlanadi.

2. 
   vektorlarning o‘rinlari “doiraviy siklda” almashtirilsa, aralash ko‘paytma o‘z ishorasini o‘zgartirmaydi, y’ni ushbu tengliklar o‘rinli:
   

Haqiqatan ham, bu holda hosil bo‘ladigan vektorlar asosiy sistema vektorlari bilan hamma vaqt bir xil tartiblangan bo‘ladi. Bunda yuqoridagi tengliklarning kelib chiqishini ko‘rish qiyin emas.

1. 
   Agar vektorlardan istalgan ikkitasi bir-biriga teng yoki parallel (kollinear) bo‘lsa, ularning aralash ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi.
   
2. 
   Agar vektorlar o‘zaro komplanar vektorlar bo‘lsa, ularning aralash ko‘paytmasi nolga teng.
   

Endi aralash ko‘paytmani vektorlarning koordinatalari orqali ifodalashga o‘tamiz. Dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan vektorlarning yoyilmasi berilgan bo‘lsin:

U holda

Shuning uchun

Shunday qilib, uch vektorning aralash ko‘paytmasi uchinchi tartibli determinant orqali ifodasi ushbu ko‘rinishda bo‘ladi:
(9.19)
Formuladan kelib chiqadigan ba’zi natijalarni keltiramiz.