79-ma’ruza. Mavzu: Ehtimolliklar nazariyasining asosiy tushunchalari Reja

1-natija. A hodisaga qarama-qarshi hodisaning ehtimolligi

P( )=1-P(A)

ga teng bo’ladi.

Isboti. A va hodisalar qarama-qarshi bo’lganligidan

P(A+ )=P(U)=1.

Yuqorida keltirilgan birgalikda bo’lmagan hodisalar uchun ehtimolliklarni qo’shish teoremasiga asosan

P(A+ )=P(A)+P( )=1.

Bundan P(A)=1-P( ) bo’lishi kelib chiqadi.

1-misol. Qutida n ta bir xil detal bo’lib, shulardan m tasi standart. Tavakkaliga olingan k ta detal orasida kamida bitta standart detal bo’lish ehtimolligini toping.

Yechilishi. “Olingan detallarning ichida kamida bittasi standart” va “olingan detallarning ichida bitta ham standart detal yo’q” hodisalari qarama-qarshi hodisalardir. Birinchi hodisani A orqali, ikkinchisini esa orqali belgilaymiz.

U holda: P(A)=1-P( ).

P(A) ni topamiz. n ta detaldan k ta detal olish usullarining jami soni ga teng. Nostandart detallar soni n-m ga teng; shu detallardan k ta nostandart detalni ta usul bilan olish mumkin. Shuning uchun olingan k ta detal ichida bitta ham standart detal yo’qligining ehtimolligi

ga teng.

Izlanayotgan ehtimollik quyidagiga teng:

.

2-misol. Qutida 40 ta bir xil shar bor, ulardan 20 tasi ko’k, 15 tasi qora va 5 tasi oq. Tavakkaliga olingan sharning rangli bo’lish ehtimolligi topilsin.

Yechilishi. Rangli shar chiqishi deganda yo ko’k shar, yoki qora shar chiqishi tushiniladi. Olingan sharning ko’k shar chiqishi hodisasini A, qora shar chiqishi hodisasini B deymiz. U holda ehtimollikning klassik ta’rifiga ko’ra

bo’ladi. A va B hodislar birgalikda emas. A+B olingan sharning rangli chiqishidan iborat hodisa.

Shuning uchun 80.1-teoremaga ko’ra



Bu misolni boshqacharoq yechish ham mumkin. Olingan sharni oq shar chiqishi hodisasini C desak C hodisa va A+B hodisalar qarama-qarshi hodisalar bo’ladi. Shuning uchun yuqorida keltirilgan natijaga ko’ra

bundan kelib chiqadi.

A₁, A₂,…, A_n hodisalar juft-jufti bilan birgtalikda bo’lmagan hodisalar bo’lganda

P(A₁+ A₂+…+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)

tenglik o’rinli bo’lishini ko’rsatish mumkin.

Xususan, A₁, A₂,…, A_n hodisalar hodisalarning to’liq guruhini tashkil etsa (A₁+ A₂+…+A_n=U), u holda

P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)=1

bo’ladi.

3-misol. Qutida 5 ta standart bo’lgan 20 ta bir xil detal ixtiyoriy tartibda joylashtirilgan. Ishchi tavakkaliga uchta detalni oladi. Olingan detallardan hech bo’lmaganda bittasi standart detal bo’lishi (A hodisa) ehtimolligini toping.

Yechilishi. Birinchi usul. Ma’lumki, quyidagi uchta birgalikda bo’lmagan hodisalardan istalgan bittasi ro’y bersa, olingan detallarning hech bo’lmaganda bittasi standart bo’ladi. B-bitta detal standart, ikkitasi-nostandart; C-ikkita detal standart, bittasi-nostandart; D-uchala detal ham standart.

Shunday qilib, A hodisani bu uchta hodisaning yig’indisi ko’rinishida tasvirlash mumkin. A=B+C+D. Qo’shish teoremasiga ko’ra

P(A)=P(B)+P(C)+P(D).

Har bir hodisaning ehtimolligini topamiz.

Tanlanma haqidagi masalaga ko’ra N ta detaldan iborat partiyada M ta nostandart detal bo’lsa, tavakkaliga olingan n ta detaldan m tasini nostandart bo’lish ehtimolligi

formula yordamida topilar edi. Shunga N=20, n=3, M=15, m=2 qiymatlarni qo’ysak

bo'ladi.

Shunga o’xshash formulaga m=1, m=0 qiymatlarini qo’ysak:

,

.

Topilganlarni qo’shib, A hodisaning ehtimolligini hosil qilamiz:

.

Ikkinchi usul. A hodisa (olingan uchta detalni hech bo’lmaganda bittasi standart) va hodisa (olingan detallarning hech biri standart emas) o’zaro qarama-qarshidir; shuning uchun P(A)+P( )=1 yoki P(A)=1-P( ).

hodisaning ro’y berish ehtimolligi quyidagiga teng:

Demak, izlanayotgan ehtimollik quyidagiga teng bo’ladi:

.

Endi birgalikda bo’lgan hodisalar uchun qo’shish teoremasini keltiramiz.

80.2.-teorema. Ikkita birgalikda bo’lgan A va B hodisadan hech bo’lmaganda birining ro’y berish ehtimolligi bu hodisalar ehtimolligi yig’indisidan ularni birgalikda ro’y berish hodisasi ehtimolligining ayirmasiga teng bo’ladi:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). (80.1)

Isboti. Shartga ko’ra A va B birgalikda bo’lgan hodisalar. Ravshanki, A , B va AB hodisalar o’zaro birgalikda emas va

A+B= A + B+AB

bo’ladi. 80.1-teoremaga ko’ra

P(A+B)=P( A )+P( B)+P(AB) (80.2)

bo’ladi.

A hodisa ro’y berishi uchun A hamda AB hodisalardan bittasi, B hodisa ro’y berishi uchun B hamda AB hodisalardan bittasi ro’y berishi kerak, ya’ni

A= A +AB, B= B+AB.

80.1-teoremaga ko’ra

P(A)=P(A )+P(AB),

P(B)=P( B)+P(AB),

bo’ladi. Bu munosabatlardan

P(A )=P(A)-P(AB),

P( B)=P(B)-P(AB)

bo’lishi kelib chiqadi. Natijada (80.2) tenglikdagi P(A ) va P( B)ning o’rniga ularning topilgan qiymatlarini qo’ysak,

P(A+B)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)+P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

hosil bo’ladi.

Demak, P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Uchta birgalikda bo’lgan A, B va C hodisalar yig’indisining ehtimolligi ushbu formula bo’yicha hisoblanadi:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).