79-ma’ruza. Mavzu: Ehtimolliklar nazariyasining asosiy tushunchalari Reja

80.3-teorema. Ikkita bog’liqmas A va B hidisaning birgalikda ro’y berish ehtimolligi shu hodisalarning ehtimolliklarining ko’paytmasiga teng:

P(AB)=P(A)· P(B). (80.3)

Isboti. Faraz qilaylik n ta tajriba natijasining n₁ tasi A ga qulaylik tug’dirsin, m ta tajriba natijasidan m₁ tasi B hodisaga qulaylik tug’dirsin.

U holda:

.

Tajribalar natijasida ro’y bergan barcha elementar hodisalar soni nm ta bo’ladi. Bulardan n₁ m₁ tasi A va B hodisalarning birgalikda ro’y berishiga qulaylik tug’diradi. Demak,

2-Natija. Agar A₁, A₂,…, A_n birgalikda bog’liq bo’lmagan hodisalar bo’lsa, u holda

P(A₁, A₂,…, A_n)=P(A₁)P( A₂)…P( A_n) (80.4)

bo’ladi.

6-misol. Uchta qutining har birida 10 tadan detal bor. Birinchi qutida 8 ta, ikkinchi qutida 7 ta, uchinchi qutida 9 ta standart detal bor. Har bir qutidan tavakkaliga bittadan detal olinadi. Olingan uchala detal ham standart bo’lishi ehtimolligini toping.

Yechilishi. Birinchi qutidan standart detal olinganlik (A hodisa) ehtimolligi:

Ikkinchi qutidan standart detal olinganlik (B hodisa) ehtimolligi:

Uchinchi qutidan standart detal olinganlik (C hodisa) ehtimolligi:

A, B va C hodisalar birgalikda bog’liqmas bo’lganligi uchun izlanayotgan ehtimollik (80.4) formulaga ko’ra quyidagiga teng.

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0,8·0,7·0,9=0,504.

7-misol. Ikki mergan nishonga qarata bittadan o’q uzdi. Birinchi merganning nishonga tekkizishi (A hodisa) ehtimolligi 0,7 ga, ikkinchisiniki (B hodisa) 0,8 ga teng bo’lsa, merganlardan aqalli bittasining (C hodisa) nishonga tekkizganligi ehtimolligi topilsin.

Yechilishi. Shartga ko’ra P(A)=0,7, P(B)=0,8, C=A+B bo’lganligi uchun (80.1) formulaga asosan

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0,7+0,8-0,7·0,8=1,5-0,56=0,94.

8-misol. A₁, A₂, A₃ bog’liqmas hodisalarning ehtimolliklari mos ravishda p₁, p₂, p₃ ga teng bo’lsa shu hodisalardan faqat bittasining ro’y berish ehtimolligini toping.