7-mavzu: Aniq intеgralning ta'rifi va uning xossalari. Reja : Aniq intеgralga kеltiruvchi masalalar. Nyuton-Lеybnits formulasi

egri chiziqli 
trapetsiya
dеb ataladi.
Quyidagi ko‘rsatilgan 
aABb
egri chiziqli trapetsiyaning 
S 
yuzasini topish 
masalasini qaraymiz. 

---

Buning uchun dastlab 
aABb
egri chiziqli trapetsiyaning asosini ifodalovchi 
[
a
,
b
] 
kesmani 
х
1

х
2

…

х
i

… 

х
n
–1 
bo‘lganixtiyoriy
n
–1
tanuqtayordamidabo‘laklargaajratamiz. 
Bunuqtalarga
а
=
х
0
vа
b
=
х
n
nuqtalarnibirlashtirsak, [
a
,
b
] kesmaularorqali 
[
х
0
, 
х
1
] , [
х
1
, 
х
2
] , … , [
х
i-1
, 
х
i
] , …. , [
х
n-1
, 
х
n
] 
n
ta kichik kesmachalarga bo‘linadi.
So‘ngra 
x
i
, 
i
=1,2, …, 
n
–1 bo‘linish nuqtalaridan OY o‘qiga parallel to‘g‘ri 
chiziqlar o‘tqazib, berilgan 
aABb
egri chiziqli trapetsiyani 
n
ta kichik egri chiziqli 
trapetsiyalarga (yuqoridagi 69-rasmga qarang) ajratamiz. Ravshanki 
aABb
egri 
chiziqli trapetsiyaning 
S
yuzasi 
n
ta kichik egri chiziqli trapetsiyalarning yuzalari 
yig‘indisiga tеng bo‘ladi. Shu sababli, agar asosi [
х
i-1
, 
х
i
] (
i
=1,2,3,…, 
n
) bo‘lgan 
egri chiziqli kichik trapetsiyalarning yuzalarini 

S
i
kabi belgilansa, quyidagi 
tеnglik o‘rinli bo‘ladi:
(1) 
Bu yerda 

S
i
(
i
=1,2, ... , 
n
)ham egri chiziqli trapetsiyalarning yuzalari 
bo‘lgani uchun ularning aniq qiymatlarini topa olmaymiz. Bu yuzalarning taqribiy 
qiymatini aniqlash uchun [
х
i–1
, 
х
i
] (
i
=1,2, ... , 
n
) kesmalarning har biridan ixtiyoriy 
ravishda 

i
nuqtalarni tanlab olamiz. Tanlangan 

i
nuqtalarda 
AB
egri chiziqni 
ifodalovchi 
y=f
(
x
)>0 funksiyaning 
f
(

i
)qiymatlarini hisoblaymiz. Endi har bir 

S
i
(
i
=1,2, ... , 
n
) yuzalarni asoslari 

x
i
=
x
i
–
x
i
–1
va balandliklari 
h
i
=
f
(

i
)>0 bo‘lgan 














n
i
i
n
i
S
S
S
S
S
S
1
2
1


X 
X 
Y 
X 
X 
O 
X 
A 
X 
B 
X 
x
0
=
a 
X 
x
n
=b
X 
ξ
1
x
1
X 
ξ
2
x
2
X 
x
n–1
ξ
n–1
X 
x
i–1
X 
y
=
f
(
x
)>0 

---

to‘g‘ri to‘rtburchaklarning yuzalari bilan almashtirib, quyidagi taqribiy 
tengliklarga ega bo‘lamiz: 

S
1 

f
(

1
)

x
1
, 

S
2 

 f
(

2
)

x
2
, …, 

S
i 

f
(

i
)

x
i
, …,

S
n 

f
(

n
)

x
n
. 
Bu taqribiy tengliklarni (1) yig‘indiga qo‘yib, berilgan 
aABb
egri chiziqli 
trapetsiyaning izlanayotgan 
S
yuzasi uchun ushbu taqribiy tenglikka ega bo‘lamiz: 
. (2) 
(2) taqribiy tenglikning geometrik ma’nosi shundan iboratki, biz hozircha 
hisoblay olmaydigan egri chiziqli trapetsiyaning 
S
yuzasi to‘g‘ri to‘rtburchaklardan 
hosil qilingan pog‘onasimon shakl yuzasi bilan almashtirildi. Bunda bo‘laklar soni 
n
qanchalik katta qilib olinsa, pog‘onasimon shaklning yuzasi egri chiziqli 
trapetsiyaning 
S 
yuzasini shunchalik darajada aniqroq ifodalaydi. Bu mulohazadan 
izlanayotgan 
S
yuzaning aniq qiymati 
(3) 
limit bilan aniqlanishi mumkinligini ko‘ramiz. 

O‘zgaruvchi kuch bajargan ishni hisoblash masalasi
.
Yo‘nalishi va 
kattaligi o‘zgarmas bo‘lgan kuch ta’sirida moddiy nuqta 
L
to‘g‘ri chiziq bo‘ylab 
harakat qilayotgan bo‘lsin. Bunda kuch yo‘nalishi bilan moddiy nuqtaning harakat 
yo‘nalishi bir xil deb olamiz. Agar bu shartlarda kattaligi 
f
bo‘lgan kuch ta’sirida 
moddiy nuqta 
L
to‘g‘ri chiziq bo‘ylab 
a
nuqtadan 
b 
nuqtaga ko‘chirilsa, ya’ni 
b–a
masofaga siljigan bo‘lsa, unda bajarilgan ish 
A
=
f
∙(
b–a
) formula bilan aniqlanishi 
bizga maktab fizika kursidan ma’lum. 
Endi yuqoridagi shartlardan kuch kattaligi o‘zgarmas degan shartdan voz 
kechib, u harakatning har bir 
x
nuqtasida biror uzluksiz 
f
(
x
) funksiya bo‘yicha 
o‘zgarib boradigan umumiyroq holni qaraymiz. Bu holda kuch moddiy nuqtani 
[
a
,
b
] kesma bo‘yicha harakatlantirganda bajarilgan 
A
ishni hisoblash masalasi 
paydo bo‘ladi. Bu masalani yechish uchun moddiy nuqtani bosib o‘tgan yo‘lini 
ifodalovchi [
a
,
b
] kesmani oldingi masaladagi singari 
n 
ta bo‘laklarga ajratib, har 
bir [
х
i–1
, 
х
i
] (
i
=1,2, ... , 
n
) kichik kesmada o‘zgaruvchi kuchning bajargan ishini

А
i
deb belgilaymiz. Bu holda [
а
, 
b
] kesmada bajarilgan umumiy 
A
ish 
qiymatini
(4) 




n
i
i
i
x
f
S
1
)
(

i
n
i
i
n
x
f
S






1
)
(
lim












n
i
i
n
A
A
A
A
A
1
2
1


---

yig‘indi ko‘rinishida ifodalash mumkin. Bu yerda ham 

А
i
ishning aniq qiymatini 
hisoblay olmaymiz. Ularning taqribiy qiymatlarini hisoblash uchun [
х
i-1,
х
i
] 
kesmachalarning har biridan ixtiyoriy 

i
nuqtani tanlab olamiz va unda kuchning 
f
(

i
) qiymatini hisoblaymiz. Uzunligi 

x
i
=
x
i
–
x
i
–
1 bo‘lgan bu kichik kesmada kuch 
kattaligi o‘zgarmas va 
f
(

i
) deb hisoblab, ushbu taqribiy tengliklarni yoza olamiz: 

А
1 

 f
(

1
)∙ 

х
1 
,

А
2 

 f
(

2
)∙ 

х
2 
, …, 

А
i

 f
(

i
)∙ 

х
i 
, …,

А
n

 f
(

n
)∙ 

х
n
 .
Bularni (4) yig‘indiga qo‘yib, izlanayotgan 
A
ishning taqribiy qiymatini topamiz: 
. (5) 
Bu yerda ham [
х
i-1,
х
i
] bo‘laklar soni 
n
oshib borgan sari (5) taqribiy tenglik 
xatoligi tobora kamayib boradi deb kutish mumkin. Shu sababli 
A
ishning aniq 
qiymati 
(6) 
limit orqali ifodalanadi. 

Mahsulot hajmini topish masalasi.
Agar ish kuni davomida mehnat 
unumdorligi o‘zgarmas, ya’ni ixtiyoriy 
t
vaqtda uning kattaligi
f
bo‘lsa, unda 
 
(T
1
,T
2
) vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi V=
f
∙( T
2 
–T
1
) formula 
bilan hisoblanadi. Masalan, sozlangan avtomatik qurilma uchun bu holni o‘rinli 
deb olish mumkin.
Ammo ishchining mehnat unumdorligi to‘g‘risida bunday deb bo‘lmaydi. 
Masalan, ish kunining boshlang‘ich davrida (ishga ko‘nikish) uning mehnat 
unumdorligi ma’lum bir vaqtgacha o‘sib boradi. So‘ngra, ishga kirishib ketgandan 
keyin, ma’lum bir vaqt oralig‘ida bir xil unumdorlik bilan mahsulot ishlab 
chiqaradi. Ish kuni oxiriga yaqinlashgan sari, charchash tufayli, mehnat 
unumdorligi pasayib boradi. Shunday qilib mehnat unumdorligi o‘zgaruvchan va 
t
vaqtga bog‘liq ravishda biror uzluksiz 
f
(
t
) funksiya orqali aniqlangan bo‘ladi. Bu 
holda (T
1
,T
2
) vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi V uchun 
yuqoridagi formula o‘rinli bo‘lmasligi ravshandir va uni topish masalasi paydo 
bo‘ladi. Bu masala ham oldingi masalalardagi mulohazalar asosida quyidagicha 
yechiladi. (T
1
,T
2
) vaqt oralig‘ini ixtiyoriy ravishda tanlangan 
T
1
=
t
0
<
t
1
<
t
2
< ∙∙∙ 
t
i
<∙∙∙ 
t
n–1
<
t
n
=T
2
nuqtalar bilan 
n 
ta (
t
i–1
,
 t
i
) (
i
=1,2,3, ∙∙∙ , 
n
) vaqt oraliqchalariga bo‘laklaymiz. Bu
i
i
n
i
x
f
A




)
(
1







n
i
i
i
n
x
f
A
1
)
(
lim


---

vaqt oraliqchalarida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmini ΔV
i
(
i
=1,2,3, ∙∙∙ , 
n
) deb 
belgilasak, unda butun vaqt oralig‘ida ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi 
(7) 
yig‘indi kabi ifodalanadi. Bu yig‘indidagi qo‘shiluvchilarning taqribiy qiymatlarini 
topish maqsadida (
t
i–1
,
t
i
) (
i
=1,2,3, ∙∙∙ , 
n
) vaqt oraliqchalaridan ixtiyoriy bir 

i
vaqtni tanlab olamiz va unda 
f
(

i
) mehnat unumdorligini aniqlaymiz. Kichkina (
t
i–1
,
 
t
i
) oraliqda uzluksiz 
f
(
t
) funksiya o‘z qiymatini unchalik ko‘p o‘zgartira olmaydi va 
shu sababli bu yerda mehnat unumdorligini o‘zgarmas va uning qiymati 
f
(

i
) deb 
olishimiz mumkin. Shu sababli Δ
t
i
=
 t
i
–
 t
i–1
vaqt ichida ishlab chiqarilgan mahsulot 
hajmi uchun
ΔV
i
≈ 
f
(

i
)∙Δ
t
i
,
i
=1,2,3, ∙∙∙ , 
n
, 
taqribiy tengliklarni yozish mumkin. Bu taqribiy tengliklarni (7) yig‘indiga qo‘yib, 
(8) 
taqribiy natijaga ega bo‘lamiz. Bu holda mahsulot hajmining aniq qiymati 
(9) 
limit orqali topiladi. 
Yuqoridagi geometrik, fizik va iqtisodiy mazmunli uchta turli masala bir xil 
matematik usulda o‘z yechimini topib, (3), (6) va (9) ko‘rinishdagi bir xil limit 
orqali ifodalandi. Shu sababli bu usul va limitni umumiy holda qarash ma’noga 
egadir.