7-mavzu: Aniq intеgralning ta'rifi va uning xossalari. Reja : Aniq intеgralga kеltiruvchi masalalar. Nyuton-Lеybnits formulasi

IX xossa
(
O‘rta qiymat haqidagi teorema
)
:
Agar 
f
(
x
) funksiya [
a
,
b
] kesmada 
uzluksiz bo‘lsa, bu kesmada shunday ξ nuqta mavjudki, unda 
(22) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
5-TA’RIF:
(22) tenglik orqali aniqlanadigan 
soni 
f
(
x
) funksiyaning [
a
,
b
] kesmadagi 
o‘rta qiymati
deb ataladi. 
3
. Yuqori chеgarasi o’zgaruvchi intеgral. Nyuton-Lеybnits formulasi
. 
у
=
f
(
х
) biror [
а
,
b
] kesmada uzluksiz funksiya bo‘lsin. Unda 
у
=
f
(
х
) bu [
а
,
b
] 
kesmada integrallanuvchi funksiya bo‘ladi. Bu yerdan ixtiyoriy 
x

[
а
,
b
] uchun 
(23) 
aniq integral mavjud ekanligi kelib chiqadi. Bunda quyi chegara 
a
o‘zgarmas, 
yuqori chegara 
x
esa o‘zgaruvchi deb qaralsa, unda (23) tenglik [
а
,
b
] kesmada 
aniqlangan biror 
Ф
(
x
) funksiyani ifodalaydi va 
yuqori chegarasi o‘zgaruvchi 
integral
deb ataladi. Bu funksiya differensial va integral hisob orasidagi chuqur 
bog‘lanishni ifodalovchi quyidagi muhim xususiyatga ega.
2-TEOREMA:
Agar (1) tenglikda 
f
(
x
) uzluksiz funksiya bo‘lsa , unda 
Ф
(
x
) 
funksiya differensiallanuvchi va 
(24) 
tеnglik o‘rinli bo‘ladi. 



b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
a
b
f
dx
x
f
b
a







b
a
dx
x
f
a
b
f
)
(
1
)
(



x
a
dt
t
f
x
Ф
)
(
)
(
)
(
)
)
(
(
)
(
x
f
dt
t
f
x
Ф
x
a






---

Isbot:
Ф
(
x
) funksiya differensiallanuvchi ekanligini va uning hosilasini ta’rif 
bo‘yicha topamiz. Buning uchun uning
х
argumеntiga ∆
х
orttirma berib va, aniq 
integralning oldin ko‘rib o‘tilgan V xossasidan foydalanib, ∆
Ф
(
х
) funksiya 
orttirmasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz: 
Bu tenglikni, aniq integralning oldin ko‘rsatilgan o‘rta qiymati haqidagi 
xossasiga asosan, 
ko‘rinishda yozish mumkin. Bu yerdan, hosila ta’rifi va 
f
(
x
) funksiya 
uzluksizligiga asosan, 
natijani, ya’ni isbotlanishi kerak bo‘lgan (3) tenglikni hosil qilamiz. Bu natijani 
olishda

[
x
, 
x
+Δ
x
] bo‘lgani uchun 

х

0 holda 

x
bo‘lishidan foydalanildi. 
Izoh:
Bu teoremadan (2) tenglik bilan aniqlangan 
Ф
(
х
) 
berilgan uzluksiz 
f
(
x
) 
funksiya uchun boshlang‘ich funksiya bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, har qanday 
uzluksiz funksiya uchun uning boshlang‘ich funksiyasi mavjud va uni (23) formula 
orqali topish mumkin ekan. 
 
3
-TEOREMA:
Agar 
F
(
x
) uzluksiz 
f
(
x
) funksiyaning biror boshlang‘ich funksiyasi 
bo‘lsa, u holda 
(25) 
tеnglik o‘rinlidir.
Isbot:
F
(
x
) uzluksiz 
f
(
x
) funksiyaning biror boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin. 
Oldingi teoremaga asosan (2) tenglik bilan aniqlangan 
Ф
(
х
)
funksiya ham 
f
(
x
) 
funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi. Bizga ma’lumki, 
f
(
x
) funksiyaning 












x
a
x
x
a
dt
t
f
dt
t
f
x
Ф
x
x
Ф
х
Ф
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(












x
x
x
x
a
x
x
x
x
a
dt
t
f
dt
t
f
dt
t
f
dt
t
f
)
(
)
(
)
(
)
(
]
,
[
,
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
x
x
x
x
f
x
x
x
f
dt
t
f
х
Ф
x
x
x

















)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
lim
lim
lim
0
0
0
x
f
f
f
x
x
f
x
x
Ф
x
Ф
x
x
x
x





















)
(
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
b
a
b
a





---

har qanday ikkita boshlang‘ich funksiyalari bir-biridan faqat biror 
C
o‘zgarmas
qo‘shiluvchi bilan farq qiladi, ya’ni 
.
Bu tеnglikda
х
=
а
dеb va 
ekanligidan foydalanib, 
C
=–
F
(
a
) ekanligini 
aniqlaymiz. Bu natijani oldingi tenglikka qo‘yib, ushbu formulaga kelamiz:
. 
Oxirgi tеnglikda
х
=
b 
dеsak,
formulaga ega bo‘lamiz. Bu formulada 
t
integrallash o‘zgaruvchisini 
x
bilan 
almashtirib (aniq integralda integrallash o‘zgaruvchisini ixtiyoriy tarzda belgilash 
mumkinligini eslatib o‘tamiz), isbotlanishi kerak bo‘lgan (25) formulani hosil 
qilamiz. 
Izoh:
(4) formulada 
F
(
x
) sifatida 
f
(
x
) funksiyaning ixtiyoriy bir boshlang‘ich 
funksiyasini olish mumkin. Bunga sabab shuki, 
f
(
x
) funksiyaning ixtiyoriy ikkita 
F
1
(
x
) va 
F
2
(
x
) boshlang‘ich funksiyalari bir – biridan faqat biror 
C 
o‘zgarmas son 
bilan farqlanadi va 
F
1
(
b
)–
F
1
(
a
)=
 F
2
(
b
)–
F
2
(
a
) bo‘ladi.
6-TA’RIF:
(25) tеnglik aniq integralni hisoblashning 
Nyuton-Lеybnits formulasi
deyiladi. 
Aniqmas va aniq integral tushunchalari bir-biriga bog‘liqmas ravishda 
kiritilgan edi. Aniqmas integral 
f
(
x
) funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari sinfi 
singari , aniq integral esa 
f
(
x
) funksiyaning [
a
,
b
] kesma bo‘yicha integral 
yig‘indilarining limiti singari kiritilganligini eslatamiz. Ammo bu ikkala tushuncha 
orasida chambarchas bog‘lanish mavjudligi va ularning ikkalasi ham “integral” deb 
atalishi bejiz emasligini ko‘rsatish uchun Nyuton – Leybnits formulasini shartli 
ravishda quyidagicha yozamiz: 
(26) 
C
x
F
dt
t
f
C
x
F
x
Ф
x
a






)
(
)
(
)
(
)
(


a
a
dx
x
f
0
)
(
)
(
)
(
)
(
a
F
x
F
dt
t
f
x
a



)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dt
t
f
b
a



b
a
b
a
b
a
b
a
dx
x
f
C
x
F
x
F
a
F
b
F
dx
x
f








)
(
]
)
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(

---

Demak, aniq integralni Nyuton – Leybnits formulasi bo‘yicha hisoblash 
uchun dastlab uning chegaralarini “unutib”, uni aniqmas integral singari qaraymiz 
va hisoblaymiz. So‘ngra chegaralar borligini “eslab”, aniqmas integralni 
hisoblangan ifodasiga 
x
o‘rniga yuqori chegara 
b
va quyi chegara 
a 
qiymatlarini 
qo‘yamiz. Natijada hosil bo‘lgan sonlar ayirmasini olib, berilgan aniq integral 
qiymatini topamiz. Bunda aniqmas integral javobidagi ixtiyoriy 
C
o‘zgarmas sonni 
hisobga olmasak ham bo‘ladi. 
Misol sifatida, 
f
(
x
)=
x
α
(α≠–1) darajali funksiyadan [
a
,
b
] kesma bo‘yicha 
olingan aniq integralni (25) Nyuton – Leybnits formulasi yordamida hisoblaymiz: 
. 
Bevosita ta’rif bo‘yicha hisoblangan (1) natija bu yerdan α=1 bo‘lganda kelib 
chiqadi. 
Shunday qilib, Nyuton – Leybnits formulasi orqali aniq integralni hisoblash 
masalasi bizga tanish bo‘lgan aniqmas integralni hisoblash masalasiga keltiriladi. 
Bunga yana bir nechta misol keltiramiz: 
;
; 
; 
.
 
4. 
Bizga 
 
x
d
x
f
b
a

aniq integral berilgan bo‘lsin, bunda 
 
x
f
funksiya [
a,b
] 
kesmada uzluksizdir. 
 
t
x


deb yangi o‘zgaruvchi kiritamiz, bunda 
 
t

va uning hosilasi
 
t


,
]
,
[


kesmada uzluksiz bo‘lsin. 
1
1
1
1
1















a
b
x
dx
x
b
a
b
a



1
0
1
0
2
3
3
2
3
2
x
dx
x
4
4
1
4
4
4
4
а
b
b
a
x
b
а
х
е
е
e
dx
е












e
e
e
e
e
x
x
xd
dx
x
x
1
1
2
2
2
1
2
2
1
ln
2
1
2
1
ln
ln
2
ln
ln
ln
ln
1
1
2
1
1
)
1
(
2
1
1
3
0
2
3
0
2
2
3
0
2











x
x
x
d
x
хdx

---

Faraz qilaylik, 
 
 
b
a






,
bo‘lsin. Bu shartlar bajarilganda quyidagi 
tenglik o‘rinli bo‘ladi: 
 
 

  
t
d
t
t
f
x
d
x
f
b
a








(27) 
Bu tenglikni isbotlash uchun (27) formulaning o‘ng va chap qismlariga 
Nyuton-Leybnits formulasini qo‘llaymiz: 
 
 
 
 
 

  
 


 


 


 
 
a
F
b
F
F
F
t
F
t
d
t
t
f
a
F
b
F
x
F
x
d
x
f
b
a
b
a






















;
Aniq integral (27) formula bo‘yicha hisoblanganda yangi o‘zgaruvchidan 
eski o‘zgaruvchiga qaytish kerak emas, balki eski o‘zgaruvchining chegaralarini 
keyingi boshlang‘ich funksiyaga qo‘yish kerak. 
Misol. 
1. 


8
3
1
x
x
d
x
integralni hisoblang. 
Yechish.
2
1
t
x


deb 
almashtirsak, 
t
d
t
x
d
t
x
2
,
1
2



bo‘ladi. 
Integrallashning yangi chegaralari: 
x=
3 bo‘lganda 
t=
2 
x=
8 bo‘lganda 
t=
3.
U holda 
 
 
3
32
3
2
6
2
3
2
1
2
2
1
1
3
2
3
3
2
2
3
2
2
8
3






 

















t
t
t
d
t
t
t
d
t
t
x
x
d
x
2. 
x
d
x


1
0
2
1
integralni hisoblang. 
Yechish.
x=sin t
deb almashtirsak, 
dx=costdt
, 
t
x
2
2
cos
1


bo‘ladi. 
Integrallashning yangi chegaralarini aniqlaymiz: 
x=
0 bo‘lganda 
t=
0 
x=
1 bo‘landa 
2


t
. 
U holda 

---



4
2
sin
2
1
2
1
2
cos
1
2
1
cos
1
2
0
2
0
2
0
2
1
0
2










 








t
t
t
d
t
t
d
t
x
d
x
. 
Faraz qilaylik, 
 
x
u
va
 
x
v
funksiyalar [
a, b
] kesmada differensiallanuvchi 
funksiyalar bo‘lsin. U holda 
 
v
u
v
u
v
u





. 
Bu tenglikni ikkala tomonini 
a
dan 
b
gacha bo‘lgan oraliqda integrallaymiz. 
 
x
d
v
u
x
d
v
u
x
d
v
u
b
a
b
a
b
a








(28) 
Lekin 
 




C
v
u
x
d
v
u
bo‘lgani sababli 
 



b
a
v
u
x
d
v
u
Demak, (27) tenglikni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: 




b
a
b
a
b
a
v
d
u
u
d
v
v
u
Bundan 




b
a
b
a
b
a
u
d
v
v
u
u
d
v
(29) 
Bu formula aniq integralni