|
bo‘laklab integrallash
formulasi
deyiladi.
Misol.
1.
1
1
1
1
0
2
1
0
2
1
0
arctg
x
x
d
x
x
arctg
x
x
v
x
d
v
d
x
x
d
u
d
x
arctg
u
x
d
x
arctg
2
ln
2
1
4
1
ln
2
1
1
0
2
x
2.
x
d
e
x
x
1
0
integral hisoblansin.
;
2
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
e
e
e
e
e
x
d
e
e
x
e
v
x
d
e
v
d
x
d
u
d
x
u
x
d
e
x
x
x
x
x
x
x
Izoh:
Ba’zi integrallarni hisoblashda bo‘laklab integrallash formulasini bir
necha marta qo‘llash mumkin.
Bizga ma’lumki
x
d
x
f
b
a
integralni ta’riflashda
a) integrallash chegarasi [
a, b
] chekli va
b) integral ostidagi funksiya
x
f
chegaralangan deb faraz qilgan edik.
Shuning uchun ham biz hozircha shu ikkita shartdan birortasi bajarilmay
qolgan holdagi funksiya integrali haqida biror narsa deya olmaymiz. Lekin quyida
yuritiladigan ba’zi bir qo‘shimcha ma’lumotlar yordamida bunday integrallar
haqidagi tushunchamizni kengaytirishimiz mumkin.
Bunda yuqoridagi ikkita shartdan birortasi bajarilmasa, bunday integrallarni
xosmas integrallar deb, agarda
a) shart bajarilmasa chegaralari cheksiz bo‘lgan integrallar (1-tur xosmas
integrallar), agarda
b) shart bajarilmasa
uzlukli funksiyaning integrali
(2-tur xosmas integrallar)
deyiladi.
Shulardan dastlab chegaralari cheksiz bo‘lgan integrallarni qaraylik.
1.1. Chegaralari cheksiz bo‘lgan integrallar
.
Dastlab shu ko‘rinishdagi integrallarga keltiriladigan misollar bilan
tanishaylik.
1-misol.
0
,
1
a
x
x
y
chiziqlar bilan chegaralangan
S
sohaning yuzasini
topaylik. Bizga ma’lum bo‘lgan tushunchalar yordamida bu sohaning yuzasini
topolmaymiz. Lekin
x=b
to‘g‘ri chiziq bilan egri chiziqli trapetsiya hosil qilsak, bu
egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi
b
a
x
d
x
1
ga teng bo‘ladi. U holda
b
so‘ralgan
sohaning yuzasi hosil bo‘ladi, ya’ni
b
a
b
b
a
b
x
x
d
S
ln
lim
lim
Demak, bu holda so‘ralgan sohaning yuzasi haqida biror narsa ayta
olmaymiz.
2-misol
.
0
,
1
2
a
x
x
y
chiziqlar bilan chegaralangan
S
sohaning yuzasini
topaylik. 1-misoldagi kabi fikr yuritsak,
b
a
b
b
a
b
b
a
a
b
x
x
x
d
S
1
1
1
lim
1
lim
lim
2
Demak, bu sohaning yuzasi
a
1
ga teng ekan, ya’ni sohamiz ko‘rinishi cheksiz
davom etishiga qaramay chekli yuzaga ega ekan.
Bu misollarni umumlashtirib
x
a
sohada uzluksiz bo‘lgan
x
f
y
funksiyani ko‘ramiz.
Agar
b
ni cheksiz o‘sishi natijasida
x
d
x
f
b
a
integral aniq limitga intilsa, bu
limitga yuqori chegarasi cheksiz bo‘lgan
x
f
funksiyaning xosmas integrali
deyiladi va
x
d
x
f
a
ko‘rinishda yoziladi.
Demak,
x
d
x
f
x
d
x
f
b
a
b
a
lim
.
Bu holda xosmas integral
yaqinlashuvchi yoku mavjud
deyiladi. Agar limiti
mavjud bo‘lmasa yoki cheksiz bo‘lsa, integral mavjud emas yoki uzoqlashuvchi
deyiladi.
Masalan 1-misolda xosmas integral
a
x
d
x
1
uzoqlashuvchi, 2-misolda
xosmas integral
a
x
d
x
2
1
yaqinlashuvchi.
Xuddi shunga o‘xshab boshqa chegaralari cheksiz bo‘lgan integrallar ham
aniqlanadi:
c
c
b
a
a
b
x
d
x
f
x
d
x
f
x
d
x
f
x
d
x
f
x
d
x
f
lim
O‘ng tomonda turgan integrallarning har biri yaqinlashuvchi bo‘lsa
x
d
x
f
yaqinlashuvchi bo‘ladi.
1.2. Uzlukli funksiya integrali.
Dastlab shu ko‘rinishdagi integralga keltiriladigan misol bilan tanishaylik:
Misol.
b
x
x
b
y
0
,
1
chiziqlar bilan chegaralangan soha yuzasi
S
topilsin.
Bu funksiya
x=b
nuqtada aniqlanmagan. Bu soha cheksiz davom etuvchi
soha bo‘lgani uchun, bizga ma’lum bo‘lgan usul bilan yuzasini topa olmaymiz.
Agar sohani
b
x
to‘g‘ri chiziq bilan kessak hosil bo‘lgan egri chiziqli trapetsiya
yuzasi:
x
d
x
f
S
b
0
bo‘lib,
0
da so‘ralgan sohani yuzasi bo‘ladi, ya’ni
b
b
b
b
x
b
x
d
x
b
S
b
b
2
2
2
lim
2
lim
1
lim
0
0
0
0
0
Bu hollarda aniq integral tushunchasini chegaralanmagan integral ostidagi
funksiya tushunchasi bilan umumlashtirish mumkin.
y
0
b x
2-ta’rif
.
Agar
0
da
x
d
x
f
b
0
aniq integral chekli limitga intilsa, bu
limitga uzlukli
funksiyaning xosmas integrali
deyiladi.
Bu holda xosmas integral
yaqinlashuvchi
deyiladi. Agar bu limit mavjud
bo‘lmasa yoki cheksiz bo‘lsa
,
uzoqlashuvchi
deyiladi.
Xuddi shuningdek, integral ostidagi funksiya
x=a
nuqtada aniqlanmagan
yoki
x=a
da uzilishga ega bo‘lsa:
x
d
x
f
x
d
x
f
b
a
b
a
0
lim
yoki
x=c
da
b
a
c
,
uzilishga ega bo‘lsa:
x
d
x
f
x
d
x
f
x
d
x
f
a
c
c
a
b
a
0
lim
formula yordamida tekshiriladi.
Agar o‘ng tomondagi har bir integral mavjud va chekli bo‘lsa oxirgi
ko‘rinishdagi xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Misol.
1
1
2
x
x
d
J
integralga Nyuton-Leybnits formulasini bevosita qo‘llasak
J=
-2 hosil bo‘ladi. Aslida musbat funksiyaning integrali musbat son bo‘lishi kerak
edi.
Bu yerdagi ziddiyat uzoqlashuvchi bo‘lgan xosmas integralga Nyuton-
Leybnits formulasini qo‘llashimiz natijasida kelib chiqdi. Haqiqatdan ham:
0
1
2
x
x
x
f
da cheksizlikka aylanadi. U holda
1
1
lim
lim
1
1
1
lim
1
lim
lim
lim
lim
0
1
2
0
0
1
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
1
2
x
x
d
x
x
x
d
x
x
d
x
x
d
x
x
d
ya’ni xosmas integral uzoqlashuvchi.
Xuddi shunga o‘xshash
6
1
1
3
2
x
x
d
ham yaqinlashuvchi ekan.
Xosmas integrallarning yaqinlashish belgilari.
Ba’zi hollarda xosmas integralning aniq qiymatini hisoblash shart bo‘lmay,
uning yaqinlashishini bilish kifoya bo‘ladi.
Bunday hollarda bu xosmas integrallarni yaqinlashishi (yoki uzoqlashishi)
ma’lum bo‘lgan integrallar bilan taqqoslash qulay bo‘ladi.
Shu maqsadda quyidagi xosmas integrallarni taqqoslashga asoslangan
teoremalarni keltiramiz.
1-teorema.
x
f
va
x
funksiyalar
,
a
intervalda uzluksiz va
x
f
x
0
shartni qanoatlantiradi. U holda:
a) agar
x
d
x
f
a
integral yaqinlashuvchi bo‘lsa,
x
d
x
a
ham yaqinlashuvchi, va
x
d
x
x
d
x
f
a
a
.
b) agar
x
d
x
a
integral uzoqlashuvchi bo‘lsa,
x
d
x
f
a
ham uzoqlashuvchi
bo‘ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
