6-ma’ruza. Mavzu: Tekislikdagi to’g’ri chiziq tenglamalari

To’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasi.

Faraz qilaylik to’g’ri chiziq koordinata o’qlarining hech biriga parallel bo’lmasdan u 0x o’qdan ОА=а, 0у o’qdan ОВ=b kesmalar ajratsin

39-chizma

U holda to’g’ri chiziq А(а;о) va В(o;b) nuqtalardan o’tishi ravshan. Shuning uchun ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi (10.5) dan foydalanamiz:

х₁  а,

у₁  0,

х₂  0,

у₂  b

bo’lgani uchun

x  a _ y  0



yoki

^x _{ 1 } ^y , bundan

0  a b  0

• 
  a b
  

^x  ^y  1

(10.6)

a b

kelib chiqadi. Bu tenglama to’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasi

deb ataladi.

6. 
   Misol. 4х-5у-20=0 to’g’ri chiziq chizilsin.
   

Yechish. To’g’ri chiziq tenglamasini kesmalarga nisbatan yozamiz:

4х-5у=20 yoki 20 ga bo’lsak

^4х  ^5у  1 va bundan

х _ у

 1 kelib chiqadi. Demak

а=5, b=-4 (40-chizma).

20 20

5  4

40. 
    chizma
    

11. To’g’ri chiziqning normal tenglamasi.

Faraz qilaylik to’g’ri chiziq

^x  ^y  1

tenglama orqali berilgan bo’lib u

a b

koordinatalar boshidan o’tmasin (41-chizma). To’g’ri chiziqqa ОР perpendikulyar o’tkazib uning uzunligini p, 0P perpendikulyar bilan 0х o’q orasidagi burchakni  orqali belgilaymiz. p to’g’ri chiziqning normali deb ataladi.

40. 
    chizma
    

Chizmadagi  АОР dan

^{ОР  cos ; ОА= OP}  ^{p ; a  p .}

^ОА cos cos cos

 АВР dan

^ОР  cos(90   )  sin ^{; ОВ=}

ОB

p _;

sin 

b  ^{p .}

sin 


а va b ning ushbu qiymatlarini to’g’ri chiziqning tenglamasiga qo’ysak

x

p

cos 

^y  1

sin 

yoki

хcos  y sin  p ;

хcos  y sin  p  0

(10.7)

p
kelib chiqadi. (10.7)-to’g’ri chiziqning normal tenglamasi deb ataladi.

To’g’ri chiziqning normal tenglamasini o’ziga xos xususiyatlaridan biri

undagi

p  0 va

cos²   sin ²  =1.

To’gri chiziq tenglamasini normal ko’rinishiga keltirish.

To’g’ri chiziq umumiy ko’rinishidagi tenglamasi Ах+Ву+С=0 (9.5) yordamida berilgan bo’lsin. Shu tenglamani (10.7) ko’rinishdagi normal tenglamaga keltirish mumkinligini ko’rsatamiz. Shu maqsadda (9.5) tenglamani shunday o’zgarmas son M ga ko’paytiramizki natijada

МАх+МВу+МС=0 (10.8)

to’g’ri chiziqning normal tenglamasi bo’lsin. Buni normal tenglama (10.7) bilan

taqqoslab

M  A  cos, M  B  sin, M  C   p

ekaniga iqror bo’lamiz. Oxirgi

tenglamadan M,  , p noma‘lumlarni aniqlash qiyin emas. U yerdagi birinchi ikkita tenglamani kvadratga ko’tarib hadlab qo’shsak

M ² A²  M ² B²  cos²   sin ²   1;

M ² ( A²  B² )  1;

M ² 

1


A²  B ²

bo’lib bundan

M  ¹

(10.9)

kelib chiqadi. M ni normallovchi ko’paytuvchi deb ataladi. (10.9) da ishora ozod had С ning ishorasiga qarama-qarshi olinadi. M ning topilgan qiymatini (10.8) ga

qo’yib

cos, sin

va p larni aniqlash mumkin:

cos 

^А , sin 

^В , p  ^С .

Shunday qilib koordinatalar boshidan Ах+Ву+С=0 to’g’ri chiziqqacha masofa

p  (10.10)

formula yordamida topilar ekan.

7. 
   misol. 6х+8у-5=0 to’g’ri chiziq tenglamasi normal ko’rinishda yozilsin.
   

Yechish. А=6, В=8, С=-5. Normallovchi ko’paytuvchi:

М  ¹

 ¹ (С  0) .

10

Berilgan tenglamani bunga ko’paytirsak

6 _{x } 8

y  ⁵  0

yoki

³ x  ⁴ y  ¹  0

normal tenglama hosil bo’ladi. Bu

10 10 10 5 5 2

to’g’ri chiziq uchun

p  ¹ , cos  ³ , sin  ⁴ .

2 5 5

12. Nuqtadan to’g’ri chiziqqacha masofa.

Aytaylik, Q( x₀ ; y₀ ) nuqta hamda Ах+Ву+С=0 to’g’ri chiziq berilgan bo’lib, Q nuqtadan to’g’ri chiziqqacha d masofani topish talab etilsin. Nuqtadan to’g’ri chiziqqacha masofa deyilganda undan to’g’ri chiziqqa o’tkazilgan

perpendikulyarning uzunligi nazarda tutiladi. 0xy sistemani parallel ko’chirib

koordinatalar boshini Q nuqtaga joylashtiramiz.

U holda

<sup>x  X  x0,

</sup> y  Y  y .

 0

bo’lib to’g’ri chiziq tenglamasi yangi QXY sistemaga nisbatan quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: А(Х+х0)+В(У+у0)+С=0 yoki АХ+ВУ+(Ах0+Ву0+С)=0 Ах0+Ву0+С=С0 deb belgilasak to’g’ri chiziq АХ+ВУ+С0=0 tenglamaga ega bo’ladi.

42-chizma

Q( x₀ ; y₀ ) nuqta yangi sistemaning koordinatalar boshi bo’lganligi uchun undan to’g’ri chiziqqacha masofa (10.10) formula yordamida topiladi:

d 

Bundan С₀= Ах₀+Ву₀+С ekanligini hisobga olib

d  (10.11)

formulaga ega bo’lamiz. Bu formula nuqtadan to’g’ri chiziqqacha masofani topish formulasi.

8. 
   misol. 3х+4у-12=0 va 3х+4у+13=0 parallel to’g’ri chiziqlar orasidagi masofa topilsin.
   

Yechish. Izlanayotgan masofani topish uchun birinchi to’g’ri chiziqning istalgan nuqtasidan ikkinchi to’g’ri chiziqqacha masofani topamiz. Birinchi tenglamada х=0 desak у=3 kelib chiqadi. Demak Q(0;3) nuqta birinchi to’g’ri chiziqning nuqtasi. (10.11) formuladan foydalanib undan ikkinchi to’g’ri chiziqkacha d masofani topamiz.

d 

Demak d=5 uz.birl.

 ²⁵  5

5

O’z-o’zini tekshirish uchun savollar.

1. 
   To’g’ri chiziqlar orasidagi burchak nima?
   
2. 
   O’q bilan to’g’ri chiziq orasidagi burchak nima?
   
3. 
   To’g’ri chiziq tenglamasi nima?
   
4. 
   To’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi qanaqa?
   
5. 
   To’g’ri chiziqning umumiy tenglamasi qanaqa?
   
6. 
   To’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasi qanday topiladi?
   
7. 
   Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak qanday topiladi?
   
8. 
   To’g’ri chiziqlarning parallellik va perpendikulyarlik shartlarini yozing.
   
9. 
   Berilgan nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasini yozing. 10.Nuqtadan to’g’ri chiziqqa parallel o’tkazilgan to’g’ri chiziq tenglamasini
   

yozing.

11. 
    Nuqtadan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar o’tkazilgan to’g’ri chiziq tenglamasini yozing.
    
12. 
    To’g’ri chiziqlar dastasi, dastaning markazi nima? 13.Ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasini yozing.
    

14.To’g’ri chiziqning kesmalarga nisbatan tenglamasini yozing. 15.To’g’ri chiziqning normal tenglamasini yozing.

16. 
    To’g’ri chiziqning tenglamasini qanday qilib normal ko’rinishga keltiriladi.Normallovchi ko’paytuvchi nima?
    
17. 
    Koordinatalar boshidan to’g’ri chiziqqacha masofa qanday topiladi? 18.Nuqtadan to’g’ri chiziqqacha masofa qanday topiladi?
    

7–ma‘ruza. Mavzu: Tekislik tenglamalari. Fazoda to’g’ri chiziq

Reja:

1. 
   Egri chiziq va sirt tenglamasi haqida tushuncha.
   
2. 
   Berilgan nuqtadan o’tuvchi tekislik tenglamasi. 3.Tekislikning umumiy ko’rinishdagi tenglamasi.
   

4. 
   Tekislikni uning tenglamasiga ko’ra yasash.
   
5. 
   Tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasi.
   
6. 
   Uch nuqtadan o’tuvchi tekislik tenglamasi.
   
7. 
   Tekislikning normal tenglamasi.
   
8. 
   Ikki tekislik orasidagi burchak. Tekisliklarning parallellik va perpendikulyarlik shartlari.
   
9. 
   Uch tekislikning kesishish nuqtasi.
   
10. 
    Nuqtadan tekislikgacha masofa.
    
11. 
    Fazoda to’g’ri chiziq tenglamalri
    

Adabiyotlar: 3,5,8,10,11,15,16.

Tayanch iboralar: egri chiziq, sirt, tekislik tenglamalari, burchak, parallellik,perpendikulyarlik, normal vektor, tekisliklar bog’lami, boglam markazi.

1.