6-ma’ruza. Mavzu: Tekislikdagi to’g’ri chiziq tenglamalari

3–ta‘rif. Fazoning M nuqtasidan o’tuvchi tekisliklar to’plami tekisliklar bog’lami deb ataladi. M nuqta bog’lamning markazi deyiladi.

A,B,C koeffitsientlar har xil qiymatlarni qabul qilganda (12.2) tenglama markazi М₁(х₁;у₁;z₁) nuqtada bo’lgan tekisliklar bog’lamining tenglamasini ifodalaydi.

1–misol. М₁(3;-2;1) nuqtadan o’tkazilgan tekislik tenglamasi yozilsin.


N  i  j  2k

vektorga perpendikulyar

Yechish. Bu yerda А=1, В=1, С=-2; х₁=3, у₁=-2, z₁=1 (12.2) formulaga binoan

1·(х-3)+1·(у+2)+(-2)·(z-1)=0 yoki х+у-2z+1=0 tekislik tenglamasiga ega bo’lamiz.

3. Tekislikning umumiy ko’rinishdagi tenglamasi.

Biz yuqorida tekislik tenglamasi dekart koordinatalari x,y va z ga nisbatan birinchi darajali (chiziqli) tenglama ekanini ko’rdik. Endi aksini ya‘ni x,y va z ga nisbatan birinchi darajali har qanday tenglama tekislik tenglamasi ekanini ko’rsatamiz.

Ах+Ву+Сz+D=0 (12.3)

tenglamaga ega bo’laylik. Bu yerdagi A,B,C,D ma‘lum sonlar bo’lib ulardan A,B,C koeffitsientlar bir vaqtda nolga teng emas. Aks holda biz tenglama emas balki D=0 ayniyatga ega bo’lamiz.

С≠0 deb faraz qilib (12.3) tenglamani

А(х  0)  В( у  0)  С(z  ^D )  0

C

(12.4)

ko’rinishda yozamiz. Bu tenglamani (12.2) tenglama bilan taqqoslab u

 _ ^D 

^М1 ^0;0; 

 ^C 

nuqtadan o’tib ko’ramiz.


N  Ai  B j  Ck

normal vektorga ega tekislik tenglamasi ekanini

(12.3) tenglama tekislikning umumiy tenglamasi deb ataladi.

Endi tekislikning umumiy tenglamasining xususiy hollari bilan tanishib chiqamiz.

1. 
   Ozod had D=0 bo’lsin. Bu holda tekislik tenglamasi Ax+By+Сz=0 ko’rinishga ega bo’ladi. x=0, y=0, z=0 bu tenglamani qonoatlantirgani uchun tekislik koordinatalar boshi 0(0;0;0) nuqtadan o’tadi. Demak tekislik tenglamasining ozod hadi nolga teng bo’lganda tekislik koordinatalar boshidan o’tar ekan.
   
2. 
   Tenglamada dekart koordinatalari oldidagi koeffitsientlardan biri, masalan С=0 bo’lsin. Bu holda tenglama Ax+By+D=0 ko’rinishga ega bo’ladi. С  pr_oz N  0 dan N normal vektorning 0z o’qqа perpendikulyarligi va tekislikning
   

0z o’qqa parallelligi kelib chiqadi. Agar Ах+Ву+D=0 tenglamani 0ху tekislikda qarasak u to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasini ifoda etadi. Biz qaraydigan holda 0z o’qqа parallel tekislik 0ху tekislikni ana shu to’g’ri chiziq bo’ylab kesib o’tadi.

Shunga o’xshash Ах+Сz+D=0 tekislik 0у o’qqа parallel, Ву+Сz+D=0 tekislik esa 0х o’qqа parallel ekanligini ko’rsatish mumkin: agar tekislik tenglamasida dekart koordinatalari х,у,z lardan qaysi biri qatnashmasa tekislik o’sha koordinataga mos o’qqa parallel bo’ladi.

3. 
   Tenglamada dekart koordinatalari oldidagi koeffitsientlardan biri va ozod had nolga teng bo’lsin. Masalan, С=D=0. Bu holda Ах+Ву=0 tenglama 1–bandga asosan koordinatalar boshidan o’tadi va 2-bandga ko’ra u 0z o’qqa parallel bo’lishi lozim. Demak Ах+Ву=0 tekislik 0z o’q orqali o’tadi.
   

Shuningdek Ву+Сz=0 va Ах+Сz=0 tenglamalarga 0х va 0у o’qlar orqali o’tuvchi tekisliklar mos keladi.

4. 
   Tenglamada dekart koordinatalari koeffitsientlaridan ikkitasi nolga teng bo’lsin. Masalan, А=В=0. Bu holda Сz+D=0 tekislik 3–banddagi mulohazaga ko’ra ham 0x o’qqa, ham 0y o’qqa parallel bo’ladi. Demak u 0xy tekislikka parallel bo’ladi. Shuningdek Ах+D=0 va Ву+D=0 tekisliklar 0уz va 0хz koordinata tekisliklariga parallel tekisliklarning tenglamalaridir.
   

1. Tenglamada ikkita dekart koordinatalarining koeffitsientlari hamda ozod had nolga teng bo’lsin. Masalan, А=В=D=0. U holda tenglama Сz=0 yoki z=0 ko’rinishga ega bo’ladi. 4–banddagi mulohazalarga ko’ra u 0ху tekislikka parallel. 1–bandga asosan u koordinatalar boshidan o’tadi. Demak z=0–0ху tekislikning tenglamasi. Shuningdek у=0-0хz tekislikning tenglamasi, х=0-0уz tekislikning tenglamasidir.

4.