6-ma’ruza. Mavzu: Tekislikdagi to’g’ri chiziq tenglamalari


Uch tekislikning kesishish nuqtasi



Download 238 Kb.
bet16/21
Sana19.01.2022
Hajmi238 Kb.
#392024
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   21
Bog'liq
tekslik (1)

Uch tekislikning kesishish nuqtasi.


Berilgan uchta А1х+В1у+С1z+D1=0, А2х+В2у+С2z+D2=0 va

А3х+В3у+С3z+D3=0 tekisliklarning kesishish nuqtasi.

A1x B1y C1z D1 0,

A x B y  C z  D  0,

2 2 2 2

A x B y  C z  D

 0.



3 3 3 3

sistemani yechib topiladi. Sistemaning asosiy determinanti



А1 В1 С1

  А2 В2 С2  0



А3 В3 С3

bo’lganda sistema yagona yechimga ega bo’ladi va berilgan uchta tekislik bir nuqtada kesishadi. Δ=0 bo’lganda tekisliklar bir nuqtada kesismaydi.



9–misol. 2х-у+3z+2=0, х+2y-z-9=0 va 3х+у-2z-11=0 tekisliklarning kesishishi nuqtasi topilsin.

Yechish.


2х у 3z 2



x  2 y z  9



3x y  2z  11

sistemani yechib tekisliklarning kesishish nuqtasining koordinatalari x=2, y=3, z=-1 larni topamiz. Demak tekisliklar M(2;3;-1) nuqtada kesishar ekan.


    1. Nuqtadan tekislikgacha masofa.


Nuqtadan tekislikgacha masofa deganda shu nuqtadan tekislikka tushirilgan perpendikulyarning uzunligi nazarda tutiladi.

Berilgan М1(х1;у1;z1) nuqtadan Ах+Ву+Сz+D=0 tenglamasi yordamida berilgan Q tekislikgacha d masofa

d  (12.17)

formula yordamida topiladi. Bu formulani keltirib chiqarish tekislikda nuqtadan to’g’ri chiziqgacha masofani topish formulasini keltirib chiqarishga o’xshaganligi uchun uni isbotlashni o’quvchiga qoldiramiz.



10–misol. А(2;3;-1) nuqtadan 7х-6у-6z+42=0 tekislikgacha masofa topilsin.

Yechish. (12.17) formulaga А=7, В=-6, С=-6, D=42, х1=2, у1=3, z1=-1 qiymatlarni qo’ysak izlanaetgan masofa

kelib chiqadi.



d  



    1. 7




      2



      (6)  3  (6)  (1)



      42

      72  (6)2  (6)2



      Fazoda to’g’ri chiziq tenglamalari


44  4

11

To’g’ri chiziqning kanonik tenglamalari.


Охуz fazoni va unda berilgan L to’g’ri chiziqni qaraymiz.





1-ta‘rif. To’g’ri chiziqqa parallel vektor shu to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori deb ataladi. Yo’naltiruvchi vektorning koordinata o’qlaridagi proeksiyalari to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi koeffitsientlari deyiladi. To’g’ri chiziqning bitta М1(x1;y1;z1) nuqtasi hamda yo’naltiruvchi

S mi n j pk vektori ma‘lum bo’lganda uning tenglamasini keltirib

chiqaramiz. M(x, y,z) to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin.




U holda



65–chizma








M1M  (x x1)i  ( y y1) j  (z z1)k
va S vektorlar parallel bo’ladi.

(65–chizma). Parallel vektorlarni mos koordinatlari proporsional bo’lganligi

sababli

x x1 y y1 z z1

(13.1)

m n p

tenglamaga ega bo’lamiz. Demak, berilgan L to’g’ri chiziqning istalgan M nuqtasining koordinatlari (13.1) tenglamani qanoatlantiradi. L to’g’ri chiziqda yotmagan hech bir nuqtaning koordinatlari (13.1) tenglamani qanoatlantirmaydi.

Chunki bu holda


M1M

va S vektorlar parallel bo’lmagani uchun ularning mos



koordinatlari proporsional bo’lmaydi.

Shunday qilib (13.1) tenglama L to’g’ri chiziqning tenglamasi ekan.

U berilgan nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi yoki to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalari deb ataladi.

To’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari.


(13.1) dagi nisbatlarni t orqali belgilaymiz. U holda

x x1 t m

munosabatdan

x-x1 = mt, x= x1 +mt kelib chiqadi. Shuningdek

y y1 t n

dan y=y1+nt,



z z1 t p

dan

z z1pt tengliklarni hosil qilamiz.

Shunday qilib:

x x1 mt,


y y nt,

(13.2)



z z

1

  • pt

 1

tengliklarga ega bo’ldik. (13.2) to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari deb ataladi. Bu yerda t parametr deb ataladi va istalgan qiymatlarni qabul qiladi. Parametr t o’zgarganda M(x,y,z) nuqtaning koordinatalari ham o’zgaradi va u to’g’ri chiziq bo’ylab siljiydi.

Agar to’g’ri chiziq parametrik tenglamalari yordamida berilsa ulardan t parametrni yo’qotib to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalarini hosil qilish mumkin.

Izoh.


x x0

y y0

va x x0 mt, tenglamalar mos ravishda 0xy

m n y y

  • nt

 0

tekislikdagi

M x ; y  nuqtadan o’tuvchi va s  m; n yo’naltiruvchi vektorga ega

0 0 0

to’g’ri chiziqning kanonik va parametrik tenglamalaridir.



To’g’ri chiziqning umumiy tenglamalari.


Ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi

A1x B1y C1z D1 0,

(13.3)

A x B y C z D  0

 2 2 2 2



ni qaraymiz. Sistemaning har bir tenglamasi tekislikni ifodalaydi. Agar bu tekisliklar parallel bo’lmasa ular qandaydir L to’g’ri chiziq bo’ylab kesishadi. Shuning uchun (13.3) tenglamalar sistemasi to’g’ri chiziqning umumiy tenglamalari deb ataladi.

Endi to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalariga ko’ra uning umumiy tenglamalarini topish usuli bilan tanishamiz. (13.1) tenglama

x x1 y y1 ,


m n

(13.1) yoki

n(x x1) m( y y1),



(13.1)

y y z z

p( y y )  n(z z )

1 1

 1 1

n p

ko’rinishdagi ikkita chiziqli tenglamalar sistemasiga teng kuchli, chunki (13.1) dagi



uchinchi

x x1 z z1

tenglik (13.1 ' ) dan kelib chiqadi.



m p

Shuningdek (13.1) tenglama



x x1 y y1 ,

x x1 z z1 ,



m n

va m p

x x z z

y y z z

1 1

1 1

m p

n p

sistemalarning har biriga teng kuchli bo’ladi. (13.1) sistemaning birinchi tenglamasi

x x1

m

y y1 n

da z ishtirok etmaydi. Demak u 0z o’qqa parallel tekislik tenglamasi.



Shuningdek (13.1) sistemaning ikkinchi tenglamasi

y y1 z z1

da х ishtirok



n p

etmaganligi uchun u 0x o’qqa parallel tekislik tenglamasini ifodalaydi. Bu tekisliklar kesishishi natijasida kesimda to’g’ri chiziq hosil bo’ladi. (13.1) yoki (13.1) tenglamalar sistemasi ana shu to’g’ri chiziqning umumiy tenglamasini ifodalaydi. Ya‘ni (13.1) yoki (13) tenglamalar sistemasi to’g’ri chiziqni ikkita tekisliklarning kesishish chizigi sifatida aniqlaydi.



Endi to’g’ri chiziq koordinata o’qlaridan biriga perpendikulyar bo’lgan holni qaraymiz. Faraz qilaylik to’g’ri chiziq 0x o’qqа perpendikulyar bo’lsin. U holda shu

to’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori

S  m, n, p

 ham 0x o’qqа perpendikulyar



bo’lib m=0 bo’ladi. Bu holda (13.1) tenglamalar sistemasi:

x x1 0

yoki

x x1



py py nz nz

py nz py

  • nz

 0.

 1 1  1 1

sistemasiga aylanadi. Bular 0х o’qqа perpendikulyar to’g’ri chiziqning umumiy tenglamalari. Bu holda ham umumiylikni buzmaslik uchun to’g’ri chiziq tenglamasini kanonik ko’rinishda



x x1 y y1 z z1

0 n p

kabi yozish mumkin. Shunday qilib to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasidagi kasrlardan qaysi birining maxraji nol bo’lsa uning suratini ham nolga tenglashtirib chiziqli tenglamalar sistemasi hosil qilinar ekan.



Masalan,

x x1 y y1 z z1

tenglama M1(x1;y1;z1) nuqtadan o’tuvchi va 0x

0 n p

o’qqa perpendikulyar to’g’ri chiziq tenglamasi,

x x1 y y1 z z1

esa M1 (x1; y1;



0 0 p

z1) nuqtadan o’tuvchi va 0z o’qqa parallel to’g’ri chiziq tenglamasi.

Endi to’g’ri chiziqni chizish usuli bilan tanishamiz.

Faraz qilaylik to’g’ri chiziq umumiy tenglamalari yordamida berilgan bo’lib, uni chizish talab etilsin. Ma‘lumki to’g’ri chiziqni chizish uchun unga tegishli ikkita nuqtalarini bilish kifoya. Bu nuqtalarni koordinatlarini (13.3) sistemani yechish orqali topish mumkin. ((13.3) sistemani yechish usuli bilan tanishmiz.).

Endi to’g’ri chiziqning umumiy tenglamalari (13.3) dan kanonik tenglamalariga o’tish usuli bilan tanishamiz.

To’g’ri chiziqning kanonik tenglamalarini yozish uchun uning bitta M1(x1;y1;z1) nuqtasini hamda yo’naltiruvchi vektorini bilishimiz lozim. М1 nuqtaning koordinatalarini (13.3) sistemadagi koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berib sistemani yechish orqali topish mumkin.

To’g’ri chiziqning yo’naltiruvchi vektori sifatida tekisliklarning normal


vektorlari

N1  A1:;B1;C1

 va



N2  A2 ;B2 ;C2

vektorlarning vektor ko’paytmasi






S N1 x N2 ni olishimiz mumkin (66–chizma).



66–chizma

  1. misol. To’g’ri chiziqning

2x 3y 2z 8 0,



x y z  9  0

umumiy tenglamasi kanonik ko’rinishga keltirilsin.



Yechish. To’g’ri chiziqning aniq M1(x1;y1;z1) nuqtasini topish uchun uning umumiy tenglamasiga z=1 qiymatni qo’ysak

2x 3y 10 0,





x y 10  0.

sistema hosil bo’ladi. Sistemaning ikkinchi tenglamasini 3 ga ko’paytirib birinchi tenglamasiga hadlab qo’shamiz. U holda 5x-20=0; 5x=20 bo’lib bundan x=4 kelib chiqadi. Oxirgi sistemaning ikkinchi tenglamasidan у=х-10 ga ega bo’lamiz. Bunga х=4 qiymatni qo’ysak у = 4-10 = -6 hosil bo’ladi.

Demak М1(4; -6; 1) to’g’ri chiziqqa tegishli nuqta ekan. Endi to’g’ri


chiziqning


S N1 N2

yo’naltiruvchi vektorini aniqlaymiz.



Misolda


N1  2i  3 j  2k,


N1i j k , bo’lgani uchun

i j k S N1N 2  2 3 2

1  1  1



bo’ladi. Bu determinatni birinchi satr elementlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz.

S 3 2

i 2 2

j 2 3 k

1 1

1 1

1 1






yoki ikkinchi tartibli determinantlarni hisoblasak

S  i  4 j  5k

kelib chiqadi. Demak m= -1, n=4, p= -5, x1=4, y1= -6, z=1.



Topilgan qiymatlarni to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalari (13.1) ga qo’ysan.

x  4 y  6 z 1

1 4  5

tenglamalarga ega bo’lamiz. Bu berilgan to’g’ri chiziqning kanonik tenglamalaridir.


Download 238 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   21




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish