|
11.21-masala.
1
n
n
a
qator
ning qanday qiymatlarida
yaqinlashishini aniqlang.
.
1
2
1
2
ln
1
n
n
n
n
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
0
1
1
1
1
1
*
va
.
1
0
1
0
1
2
2
1
ln
1
2
1
2
ln
2
1
*
*
n
a
n
n
n
n
n
Agar
2
1
1
n
b
n
deb belgilasak,
1
n
n
b
qator
,
1
2
1
ya`ni
0
bo`lganda
yaqinlashadi.
1
n
n
a
qator ham
0
da yaqinlashadi.
12.21-masala.
1
1
5
4
1
n
n
n
n
tg
qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Bu qator ishorasi almashinuvchi qator bo`lib, uning
yaqinlashishini Leybnis alomatidan foydalanib, ko`rsatish mumkin.
1
5
4
n
n
tg
a
n
deb belgilasak
1)
N
n
uchun
0
1
n
n
a
a
, ya`ni
n
a
va
2)
0
1
5
4
1
4
4
lim
lim
n
n
n
n
tg
a
n
n
n
191
bo`ladi
Leybnis alomatiga ko`ra berilgan qator yaqinlashuvchi.
13.21-masala. Quyidagi
1
4
2
1
1
ln
4
3
n
n
n
n
n
n
qatorning absolut yaqinlashuvchi ekanligini isbotlang.
n
n
n
n
a
n
n
1
1
ln
4
3
4
2
deb belgilaymiz. Unda quyidagi
munosabatlar o`rinli bo`ladi.
n
n
b
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
2
4
2
2
4
2
2
1
3
1
1
ln
4
3
1
1
2
2
n
n
n
n
b
qator yaqinlashuvchi
taqqoslash alomatiga ko`ra
1
n
n
a
yaqinlashuvchi, ya`ni berilgan
1
n
n
a
qator absolut yaqinlashuvchi.
14.21-masala. Quyidagi
1
1
cos
2
ln
ln
2
sin
n
n
n
n
qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Bu qatorning yaqinlashishini Abel alomati yordamida aniqlaymiz:
n
a
n
1
cos
va
2
ln
ln
2
sin
n
n
b
n
deb belgilab, Abel teoremasining shartlari
bajarilishini tekshiramiz:
1)
n
a
n
1
cos
ketma-ketlik monoton (monoton o`suvchi) va
chegaralangan
1
1
cos
0
n
;
2)
1
1
2
ln
ln
2
sin
n
n
n
n
n
b
qator
Dirixle
alomatiga
ko`ra
yaqinlashuvchi bo`ladi. Darhaqiqat, agar
2
ln
ln
1
n
a
n
va
n
b
n
2
sin
deb belgilasak,
192
a)
n
a
va
,
0
2
ln
ln
1
lim
lim
n
a
n
n
n
b)
n
k
n
k
k
n
n
n
k
b
B
1
1
1
sin
sin
1
sin
2
sin
chegaralangan bo`ladi
1
sin
1
n
B
Dirixle alomatiga ko`ra
1
n
n
b
qator yaqinlashuvchi.
Shunday qilib, berilgan qator uchun Abel teoremasining shartlari bajarilar
ekan
1
1
1
cos
2
ln
ln
2
sin
n
n
n
n
n
n
n
b
a
qator yaqinlashuvchi.
Izoh.
Bu misolni yechishda elementar matematika kursidan ma`lum
bo`lgan ushbu
n
k
Z
m
m
n
n
k
1
,
2
,
2
sin
2
sin
2
1
sin
sin
formuladan foydalanildi.
15.21-masala. Ushbu
1
cos
n
n
n
qator
ning qanday qiymatlarida
a) absolut yaqinlashuvchi,
b) shartli yaqinlashuvchi bo`lishini aniqlang.
Birinchi navbatda berilgan qator
ning qanday qiymatlarida
yaqinlashuvchi
bo`lishini
aniqlaymiz.
Bunda
Dirixle
alomatidan
foydalanamiz. Agar
n
a
n
1
va
n
b
n
cos
deb belgilasak
1)
0
bo`lganda
n
a
va
,
0
1
lim
lim
n
a
n
n
n
2)
n
k
k
n
n
n
b
B
1
2
1
sin
2
cos
2
1
cos
va
2
1
sin
1
n
B
bo`ladi.
Dirixle
alomatiga ko`ra
1
1
cos
n
n
n
n
n
n
b
a
qator
0
bo`lganda yaqinlashadi.
0
bo`lganda esa bu qator uzoqlashadi, chunki
0
bo`lganda qator
yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi.
193
Endi qatorni absolut yaqinlashishga tekshiramiz .
n
n
n
1
cos
va
1
1
n
n
umumlashgan garmonik qatorning
1
da yaqinlashuvchi
bo`lishidan
1
da
1
cos
n
n
n
qatorning yaqinlashishini hosil qilamiz.
Endi
1
0
bo`lganda berilgan qatorning absolut yaqinlashuvchi
emasligini, ya`ni
1
cos
n
n
n
qatorning uzoqlashishini ko`rsatamiz.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
2
cos
2
1
2
2
cos
1
cos
cos
2
tengsizlik
hamda
1
2
2
cos
n
n
n
qatorning
Dirixle
alomatiga
ko`ra
yaqinlashuvchi bo`lishi va
1
2
1
n
n
qatorning uzoqlashuvchi ekanligidan
1
2
2
cos
1
n
n
n
qatorning ham uzoqlashuvchi ekanligini, taqqoslash alomatiga
ko`ra
1
cos
n
n
n
qatorning uzoqlashuvchiligini hosil qilamiz.
Shunday qilib,
1
cos
n
n
n
qator
a)
1
da absolut yaqinlashuvchi,
b)
1
0
da shartli yaqinlashuvchi bo`lar ekan.
16.21-masala. Quyidagi
1
1
1
1
n
p
n
n
cheksiz ko`paytmani absolut va shartli yaqinlashishga tekshiring.
.
1
1
1
1
1
1
p
n
n
n
p
n
n
n
a
a
n
P
0
4
punktga ko`ra berilgan
cheksiz ko`paytma absolut yaqinlashuvchi bo`lishi uchun
1
n
n
a
qatorning
absolut yaqinlashuvchi bo`lishi zarur va yetarli.
194
1
n
n
a
1
1
1
.
1
,
,
1
,
1
1
n
n
p
p
n
p
chi
uzoqlashuv
p
vchi
yaqinlashu
n
n
Cheksiz ko`paytmani shartli yaqinlashishga tekshirishda 4
0
-
punktdagi 5-teoremadan foydalanamiz.
Unga ko`ra cheksiz ko`paytma yaqinlashuvchi bo`lishi uchun
1
n
n
a
qator
yaqinlashuvchi bo`lgan holda
1
2
n
n
a
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi
zarur va yetarli edi.
1
1
1
n
p
n
n
n
n
a
qator
0
p
bo`lganda Leybnis alomatiga ko`ra
yaqinlashadi.
1
2
1
2
1
n
p
n
n
n
a
qator esa
2
1
p
da yaqinlashadi,
2
1
p
da esa
uzoqlashadi.
Shunday qilib, berilgan
1
1
1
1
n
p
n
n
cheksiz ko`paytma
a)
1
p
da absolut va
b)
1
2
1
p
da shartli yaqinlashadi.
195
Do'stlaringiz bilan baham: |
