|
7-§. 6-MUSTAQIL ISH
Funksional ketma-ketliklar va qatorlar
Funksional ketma-ketlik tushunchasi.
Funksional ketma-ketliklarning yaqinlashishi va tekis yaqinlashishi.
Funksional qator tushunchasi.
Funksional qatorlarning yaqinlashishi va tekis yaqinlashishi.
Funksional qator yig`indisi va funksional ketma-ketlik limitining
xossalari.
Darajali qatorlar.
Teylor qatori. Elementar funksiyalarni Teylor qatoriga yoyish.
Darajali qatorlarning tatbiqlari.
-A-
Asosiy tushuncha va teoremalar.
1
0
Funksional ketma-ketliklar, ularning yaqinlashishi va tekis
yaqinlashishi.
R
X
to`plam berilgan bo`lib, unda
,...
,...,
,
2
1
x
f
x
f
x
f
n
funksiyalar aniqlangan bo`lsin. Ana shu funksiyalardan tuzilgan ketma-
ketlikka X to`plamda berilgan
funksional ketma-ketlik
deyiladi va u
x
f
n
kabi belgilanadi:
x
f
n
:
,...
,...,
,
2
1
x
f
x
f
x
f
n
(1)
x
f
n
ga funksional ketma-ketlikning
umumiy hadi
deyiladi.
Ixtiyoriy
X
x
0
nuqta olib, ushbu
0
x
f
n
:
,...
,...,
,
0
0
2
0
1
x
f
x
f
x
f
n
(2)
sonli ketma-ketlikni qaraymiz. Agar bu sonli ketma-ketlik
yaqinlashuvchi
(uzoqlashuvchi)
bo`lsa,
x
f
n
funksional ketma-ketlik
0
x
nuqtada
yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi)
deyiladi,
0
x
nuqta esa funksional ketma-
ketlikning
yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtasi
deb ataladi.
x
f
n
funksional ketma-ketlikning barcha yaqinlashish nuqtalaridan
iborat
R
M
M
to`plam
x
f
n
funksional
ketma-ketlikning
196
yaqinlashish sohasi deyiladi.
M
x
uchun ushbu
x
f
n
n
lim
bo`ladi. Agar
M
x
uchun unga mos keluvchi
x
f
n
n
lim
ni mos qo`ysak,
ya`ni
x
f
x
f
n
n
lim
:
bo`lsa, unda M to`plamda aniqlangan
x
f
funksiya hosil bo`ladi. Bu
x
f
funksiya
x
f
n
ketma-ketlikning
limit funksiyasi
deyiladi. Demak,
x
f
n
n
lim
x
f
M
x
(3)
Ta`rif.
Agar
0
son olinganda ham
0
0
0
:
n
n
N
n
n
va
M
x
uchun
x
f
x
f
n
(4)
tengsizlik bajarilsa,
x
f
n
funksional ketma-ketlik M to`plamda
x
f
limit
funksiyaga
tekis yaqinlashadi
deyiladi va
x
f
n
x
f
M
x
kabi
belgilandi. Aks holda, ya`ni
0
0
N
n
olinganda ham
n
m
va
M
x
0
lar mavjud bo`lsaki
0
0
0
x
f
x
f
m
tengsizlik bajarilsa,
x
f
n
funksional ketma-ketlik M to`plamda
x
f
limit
funksiyaga
tekis yaqinlashmaydi
yoki
notekis yaqinlashadi
deyiladi.
1-Teorema.
x
f
n
funksional ketma-ketlikning M toplamda
x
f
ga
tekis yaqinlashishi uchun
0
lim
x
f
x
f
Sup
n
M
x
n
(5)
tenglikning bajarilishi zarur va yetarli.
2-Teorema.
(Koshi kriteriyasi).
x
f
n
funksional ketma-ketlikning
M to`plamda
x
f
ga tekis yaqinlashishi uchun quyidagi shartning
bajarilishi zarur va yetarlidir:
0
uchun
0
0
0
:
n
n
N
n
n
va
butun
0
p
sonlari hamda barcha
M
x
lar uchun
x
f
x
f
n
p
n
(6)
tengsizlik bajariladi.
197
3-Teorema. (Veyershtrass alomati).
Agar
n
a
sonlar ketma-
ketligi mavjud bo`lib,
1)
N
n
uchun
0
n
a
va
;
0
lim
n
n
a
2)
M
x
va barcha
N
n
lar uchun
n
n
p
n
a
x
f
x
f
bo`lsa, unda M to`plamda
x
f
f
n
bo`ladi.
2
0
.
Funksional qatorlarning yaqinlashishi va tekis yaqinlashishi.
Biror
R
X
to`plamda
x
u
n
funksional ketma-ketlik berilgan
bo`lsin. Quyidagi
...
...
2
1
x
u
x
u
x
u
n
ifodaga
funksional qator
deyiladi va u
1
n
n
x
u
kabi belgilanadi.
1
0
n
n
x
u
...
...
2
1
x
u
x
u
x
u
n
(7)
,...
,...,
,
2
1
x
u
x
u
x
u
n
larga funksional qatorning h
adlari,
x
u
n
ga esa
funksional qatorning
umumiy hadi
deyiladi.
Ixtiyoriy
X
x
0
nuqta olib, ushbu
1
n
n
x
u
...
...
0
0
2
0
1
x
u
x
u
x
u
n
(8)
sonli qatorni qaraymiz.
Agar
bu
sonli qator
yaqinlashuvchi
(uzoqlashuvchi)
bo`lsa,
1
n
n
x
u
funksional
qator
0
x
nuqtada
yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi)
deyiladi,
0
x
nuqta esa funksional
qatorning
yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtasi
deb ataladi.
1
n
n
x
u
funksional qatorning barcha yaqinlashish nuqtalaridan
iborat
R
M
M
to`plam bu funksional qatorning
yaqinlashish sohasi
deyiladi.
M
x
0
nuqta olib,
1
0
n
n
x
u
sonli qatorni ko`rsak, u
198
yaqinlashuvchi bo`ladi. Uning yig`indisini
0
x
S
deb belgilaymiz. Xuddi
shunga o`xshash
M
x
olib, unga
1
n
n
x
u
qatorning yig`indisini mos
qo`ysak, u holda M to`plamda aniqlangan
x
S
funksiya hosil bo`ladi. Bu
x
S
funksiya (7)-funksional qatorning
yig`indisi
deyiladi:
x
S
1
n
n
x
u
...
...
2
1
x
u
x
u
x
u
n
Ushbu
x
S
n
,
1
n
k
k
x
u
,...
2
,
1
n
yig`indilarga (7)-funksional qatorning
qismiy yig`indilar
deyiladi.
Shunday qilib, (7)-qatorga mos keluvchi
:
x
S
n
,...
,...,
,
2
1
x
S
x
S
x
S
n
(9)
funksional ketma-ketlikni hosil qildik va aksincha, (9)-qismiy
yig`indilari ketma-ketligi berilgan holda har doim hadlari (7)-
funksional qatorning hadlariga teng bo`lgan quyidagi
...
...
1
1
2
1
x
S
x
S
x
S
x
S
x
S
n
n
funksional qatorni hosil qilish mumkin.
Agar (9)-ketma-ketlik
0
x
nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsa, u holda (7)-qator ham
0
x
nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`ladi va
x
S
x
S
n
n
lim
tenglik bajariladi.
Demak, funksional qator yoki funksional ketma-ketlikdan birining
xossalarini batafsil o`rganish yetarlidir.
Ta`rif.
Agar (7)-funksional qatorning qismiy yig`indilaridan tuzilgan
x
S
n
funksional ketma-ketlik M to`plamda qatorning yig`indisi
x
S
ga
tekis yaqinlashsa, unda (7)-funksional qator M to`plamda
tekis
yaqinlashadi
deyiladi.
1
n
k
k
n
n
x
u
x
S
x
S
x
r
deb belgilaymiz.
199
1-Teorema.
(7)-funksional
qatorning
M
to`plamda
tekis
yaqinlashuvchi bo`lishi uchun
0
lim
x
r
Sup
n
M
x
n
Do'stlaringiz bilan baham: |
