|
(14)
funksional qator
b
a
,
da tekis yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda berilgan (7)-
qatorning yig`indisi
x
S
shu
b
a
,
da
x
S
hosilaga ega va
1
1
n
n
n
n
x
u
x
u
x
S
tenglik o`rinli bo`ladi.
Izoh.
Bu teoremada ham (14)-funksional qatorning tekis
yaqinlashuvchanlik sharti yetarli shart bo`lib, zaruriy shart emas.
203
4
0
.
Darajali qatorlar.
1-Ta`rif.
Quyidagi
0
0
n
n
n
x
x
a
(15)
ko`rinishdagi funksional qatorga
darajali qator
deyiladi
. Bu yerda
0
2
1
,...,
,...,
,
x
a
a
a
n
lar o`zgarmas haqiqiy sonlar.
Agar (15) da
0
x
x
deb belgilash kiritsak,
0
n
n
n
a
(16)
darajali qatorga kelamiz. Demak (16)-ko`rinishdagi darajali qatorlarni
o`rganish kifoyadir.
1-Teorema. (Abelning birinchi teoremasi)
Agar
0
2
2
1
0
...
...
n
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
a
x
a
(17)
darajali qator
0
0
x
x
nuqtada yaqinlashsa, u holda qator x ning
0
x
x
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida
absolut
yaqinlashuvchi
bo`ladi.
Natija.
Agar (17)-qator
0
x
x
nuqtada uzoqlashuvchi bo`lsa, u
holda bu qator
0
x
x
da ham uzoqlashuvchi bo`ladi.
2-Ta`rif.
Agar
0
n
n
n
x
a
darajali qator
R
x
da yaqinlashib,
R
x
da uzoqlashsa, u holda shu
0
R
soniga darajali qatorning
yaqinlashish radiusi,
R
R
,
oraliqqa esa
yaqinlashish intervali
deyiladi.
2-Teorema.
Ixtiyoriy darajali qatorning yaqinlashish radiusi R
mavjud bo`lib, bu qator
R
x
da absolut va
R
r
uchun
r
x
da tekis
yaqinlashadi.
Izoh.
Darajali qator yaqinlashish oralig`ining chegaraviy
R
x
nuqtalarida yaqinlashishi ham , uzoqlashishi ham mumkin. Darajali qatorni
bu nuqtalarda alohida tekshirish lozim.
Darajali qatorning yaqinlashish radiusini quyidagi teoremalardan
foydalanib, topish mumkin.
204
3-Teorema. (Dalamber).
Agar
1
lim
n
n
n
a
a
mavjud bo`lsa, u holda
1
lim
n
n
n
a
a
R
(18)
bo`ladi.
4-teorema. (Koshi).
Agar
n
n
n
a
lim
mavjud bo`lsa, u holda
n
n
n
a
R
lim
1
(19)
bo`ladi.
5-Teorema. (Koshi-Adamar)
Agar R soni (17)-darajali qatorning
yaqinlashish radiusi bo`lsa, u holda
n
n
n
a
R
lim
1
(20)
formula (Koshi-Adamar formulasi) o`rinli bo`ladi.
Darajali qatorlar quyidagi xossalarga ega.
6-Teorema.
Darajali qatorning yig`indisi
x
S
yaqinlashish
oralig`iga tegishli bo`lgan
nuqtada uzluksiz bo`ladi.
7-Teorema. (Abelning ikkinchi teoremasi).
Agar (17)-qator
R
x
R
x
nuqtada yaqinlashsa, unda bu qator
0
;
;
0
R
R
kesmada
tekis yaqinlashuvchi bo`ladi.
Natija
.
Agar (17)-qator
R
x
R
x
nuqtada yaqinlashsa, u holda
x
S
yig`indi
0
;
;
0
R
R
kesmada uzluksiz bo`ladi.
Endi
0
0
n
n
n
x
x
a
ko`rinishidagi darajali qatorni ko`ramiz. Bu
qatorning yaqinlashish radiusi
0
n
n
n
x
a
qatorning yaqinlashish radiusini
hisoblash formulalari yordamida topiladi, faqat bu yerda yaqinlashish
oralig`i
R
x
R
x
R
x
x
0
0
0
,
interval bo`ladi.
8-Teorema.
Agar
0
R
soni quyidagi
205
0
0
n
n
n
x
x
a
x
f
(21)
darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo`lsa, u holda
1)
x
f
funksiya
R
x
R
x
0
0
,
intervalda ixtiyoriy tartibli hosilalarga
ega bo`ladi va u hosilalar (21)-darajali qatorni hadlab differensiallash
yordamida topiladi;
2)
bu qatorni
b
a
,
R
x
R
x
0
0
,
oraliqda hadlab integrallash
mumkin.
3)
(21)-darajali qatorni hadlab differensiallash yoki integrallashdan hosil
bo`lgan yangi qatorlarning yaqinlashish radiuslari ham (21)-qatornning
yaqinlashish radiusi R ga teng bo`ladi.
Izoh
. Agar
x
f
funksiya (21)-tenglik yordamida ifodalanib,
0
R
bo`lsa, u holda
x
f
funksiya
0
x
nuqtada (aniqrog`i,
0
x
nuqtaning
atrofida) analitik funksiya deyiladi. 8-teoremadan analitik funksiyaning
cheksiz differensiallanuvchi ekanligi kelib chiqadi. Lekin, ixtiyoriy cheksiz
differensiallanuvchi funksiya analitik bo`lishi shart emas. Bunga misol
tariqasida
2
1
exp
x
x
f
funksiyani olish mumkin.
9-Teorema.
Agar
x
f
funksiya
0
x
nuqtada analitik bo`lsa, ya`ni
0
0
n
n
n
x
x
a
x
f
tenglik
0
x
nuqtaning biror atrofida o`rinli bo`lsa, u holda
,..
2
.
1
,
0
,
!
0
n
n
x
f
a
n
n
bo`ladi, ya`ni
n
n
n
x
x
n
x
f
x
f
0
0
0
!
tenglik ham
0
x
nuqtaning o`sha atrofida o`rinli bo`ladi.
5
0
. Teylor qatori. Elementar funksiyalarni Teylor qatoriga yoyish
Ta`rif.
Faraz qilaylik,
x
f
funksiya
0
x
nuqtaning biror atrofida
aniqlangan va shu nuqtada ixtiyoriy tartibdagi hosilalarga ega bo`lsin. U
holda quyidagi
206
n
n
n
x
x
n
x
f
0
0
0
!
(22)
qatorga
x
f
funksiyaning
0
x
nuqtadagi Teylor qatori deyiladi.
Izoh.
(22)-qatorning yig`indisi har doim ham
x
f
bilan ustma-ust
tushavermaydi.
Masalan,
2
1
exp
x
x
f
funksiya uchun barcha hosilalar
0
0
n
f
va (22) qatorning yig`indisi
x
f
0
Lekin ba`zi bir shartlar bajarilsa ular orasida tenglik o`rnatish mumkin.
Teorema. (Teylor).
Faraz qilaylik
h
x
h
x
0
0
,
intervalda
x
f
funksiyaning o`zi va barcha tartibdagi hosilalari birgalikda chegaralangan
bo`lsin, ya`ni
x
M
:
0
h
x
h
x
0
0
,
uchun
,...
3
,
2
,
1
,
0
,
n
M
x
f
n
tengsizlik bajarilsin. U holda
h
x
h
x
0
0
,
oraliqda
x
f
funksiya Teylor
qatoriga yoyiladi, ya`ni
,
,
!
0
0
0
0
h
x
x
x
x
n
x
f
x
f
n
n
n
(23)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Agar Teylor qatorida
0
0
x
bo`lsa, u holda hosil bo`lgan qatorga
Makloren qatori
deyiladi.
Endi
asosiy
elementar
funksiyalarning
Makloren
qatoriga
yoyilmalarini keltiramiz.
1.
0
3
2
...
!
3
!
2
1
!
n
n
x
x
x
x
n
x
e
x
.
2.
...
!
1
2
...
!
5
!
3
!
1
2
1
2
0
5
3
1
2
n
x
x
x
x
n
x
shx
n
n
n
x
.
3.
...
!
2
...
!
4
!
2
1
!
2
2
0
4
2
2
n
x
x
x
n
x
chx
n
n
n
x
.
4.
...
!
1
2
1
...
!
5
!
3
!
1
2
1
sin
1
2
0
5
3
1
2
n
x
x
x
x
n
x
x
n
n
n
n
n
x
.
207
5.
...
!
2
1
...
!
4
!
2
1
!
2
1
cos
2
0
4
2
2
n
x
x
x
n
x
x
n
n
n
n
n
x
.
6.
...
1
...
!
3
!
2
1
1
ln
1
1
3
2
1
n
x
x
x
x
n
x
x
n
n
n
n
n
`
1
1
x
.
7.
1
2
!
2
1
1
!
1
...
1
1
1
n
n
x
x
x
n
n
x
1
1
...
!
1
...
1
...
!
3
2
1
3
x
x
n
n
x
n
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
