|
161
6-§. 5-MUSTAQIL ISh.
Sonli qatorlar.
Sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi.
Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari.
Ishorasi o`zgaruvchi qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari.
Cheksiz ko`paytmalar.
-A-
Asosiy tushuncha va teoremalar.
0
1
Yaqinlashuvchi qatorlar va ularning xossalari.
Ushbu
,...
,...,
,
2
1
n
a
a
a
haqiqiy sonlar ketma-ketligi berilgan bo`lsin.
1-Ta`rif.
Quyidagi
...
...
2
1
n
a
a
a
(1)
ifodaga
qator (sonli qator)
deyiladi
va u
1
n
n
a
kabi belgilanadi.
Shunday qilib,
...
...
:
2
1
1
n
n
n
a
a
a
a
(2)
ekan.
n
a
ketma-ketlikning
,...
,...,
,
2
1
n
a
a
a
elementlari
qatorning hadlari
deyiladi,
n
a
esa
qatorning umumiy hadi
deb ataladi. Ushbu
n
k
k
n
a
S
1
,
,....
2
,
1
n
(3)
yig`indilar esa (2)-qatorning
qismiy yig`indilari deyiladi.
2-Ta`rif
.
Agar
n
S
ketma-ketlik chekli limitga ega, ya`ni
S
S
n
n
lim
bo`lsa, unda qator
yaqinlashuvchi
deyiladi va bu limitning qiymati S (2)-
qatorning yig`indisi
deb ataladi hamda u
1
2
1
...
...
n
n
n
a
a
a
a
S
kabi yoziladi.
162
Agar
n
S
ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lmasa, u holda
uzoqlashuvchi
deyiladi.
3-Ta`rif.
Ushbu
1
2
1
...
m
n
m
m
n
a
a
a
(4)
qator (2)-qatorning (m-hadidan keyingi)
qoldig`i
deyiladi.
1-Teorema
.
Agar (2)-qator yaqinlashuvchi bo`lsa, uning istalgan (4)-
qoldig`i ham yaqinlashuvchi bo`ladi va aksincha, (4)-qoldiqning
yaqinlashuvchi bo`lishidan berilgan (2)-qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi
kelib chiqadi.
1-Natija
.
Agar (2)-qator yaqinlashuvchi bo`lsa, uning qoldig`i
...
2
1
m
m
m
a
a
r
m
da nolga intiladi.
2-Teorema
.
Agar (2)-qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi S
bo`lsa, u holda
1
n
n
ca
qator ham yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi
S
c
bo`ladi , ya`ni
1
1
n
n
n
n
a
c
ca
tenglik bajariladi.
3-Teorema
.
Agar
1
n
n
a
va
1
n
n
b
qatorlar yaqinlashuvchi bo`lsa, unda
1
n
n
n
b
a
qator ham yaqinlashuvchi bo`lib,
1
n
n
n
b
a
1
n
n
a
1
n
n
b
bo`ladi.
2 va 3-teoremalardan quyidagi natija kelib chiqadi.
2-Natija
.
Agar
1
n
n
a
va
1
n
n
b
qatorlar yaqinlashuvchi bo`lsa,
1
0
n
n
n
b
d
ca
const
d
с
,
qator ham yaqinlashuvchi bo`lib,
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
b
d
a
c
b
d
a
c
bo`ladi.
163
4-Teorema
.
(Qator yaqinlashishining zaruriy sharti).
Agar (2)-qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda
0
lim
n
n
a
(5)
bo`ladi.
Izoh.
4-teoremaning aksi har doim ham o`rinli bo`lavermaydi.
Masalan,
1
1
n
n
uchun
,
0
1
lim
lim
n
a
n
n
n
lekin bu qator yaqinlashuvchi
emas.
5-Teorema
.
(Koshi kriteriyasi)
(2)-qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi
uchun quyidagi shartning bajarilishi zarur va yetarli:
0
son uchun
0
0
:
n
n
N
n
va
butun
0
p
son uchun
p
n
n
n
p
n
n
k
k
a
a
a
a
...
1
(6)
tengsizlik bajariladi.
2
0
Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashishi
Aytaylik,
1
2
1
...
...
n
n
n
a
a
a
a
(7)
qator berilgan bo`lsin. Agar
N
n
uchun
0
n
a
bo`lsa, unda (7)-qatorga
musbat hadli qator
yoki qisqacha
musbat qator
deb ataladi.
Bu punktda biz musbat hadli qatorlar uchun yaqinlashish alomatlarini
keltiramiz.
1-Teorema. (Veyershtrass kriteriyasi)
(7)-qator yaqinlashuvchi
bo`lishi uchun uning qismiy yig`indilari ketma-ketligi
n
S
yuqoridan
chegaralangan bo`lishi zarur va yetarlidir.
Misol.
Ushbu
1
...
1
...
3
1
2
1
1
1
n
n
n
(8)
umumlashgan garmonik qatorning
1
da yaqinlashuvchi ekanligi
isbotlansin.
n
k
n
n
k
S
1
1
...
2
1
1
1
va
n
n
n
S
n
S
S
1
1
1
.
Endi uning yuqoridan chegaralanganligini ko`rsatamiz:
164
1
2
1
2
1
...
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
2
1
...
3
1
2
1
1
1
2
n
n
n
S
S
n
n
n
S
n
n
n
1
2
1
1
1
...
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
...
4
1
4
1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
n
S
n
S
n
,...
2
,
1
ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan.
1-teoremaga ko`ra
1
1
n
n
umumlashgan garmonik qator
1
da
yaqinlashadi.
Faraz qilaylik, (7)-qator va ushbu
1
2
1
...
...
n
n
n
b
b
b
b
(9)
qatorlar berilgan bo`lsin. Unda quyidagi taqqoslash teoremalari o`rinli
bo`ladi.
2-Teorema.
(Birinchi taqqoslash alomati)
Agar n ning biror
1
0
0
n
n
qiymatidan boshlab barcha
0
n
n
lar uchun
n
n
b
a
tengsizlik o`rinli bo`lsa, unda (9)-qatorning yaqinlashuvchi bo`lishidan (7)
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi va (7)-qatorning uzoqlashuvchi
bo`lishidan (9)-qatorning uzoqlashuvchi bo`lishi kelib chiqadi.
3-Teorema.
Agar
k
b
a
n
n
n
lim
k
0
bo`lsa,
a)
k
bo`lganda, (9)-qatorning yaqinlashuvchi bo`lishidan (7)-
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi;
b)
0
k
bo`lganda, (9)-qatorning uzoqlashuvchi bo`lishidan (7)-qatorning
uzoqlashuvchi bo`lishi kelib chiqadi.
165
Natija.
Agar
n
da
n
n
b
a
*
0
bo`lsa
bo'lsa
k
ni
y
0
'
unda (7)-qatorning yaqinlashishi (9)-qatorning yaqinlashishiga ekvivalent
bo`ladi.
4-Teorema.
(Ikkinchi taqqoslash alomati)
Agar n ning biror
1
0
0
n
n
qiymatidan boshlab barcha
0
n
n
lar uchun
n
n
n
n
b
b
a
a
1
1
tengsizlik bajarilsa , unda
1)
(9)-qator yaqinlashuvchi bo`lsa, (7)-qator yaqinlashuvchi;
2)
(7)-qator uzoqlashuvchi bo`lsa, (9)-qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
Endi musbat hadli (7)-qator uchun yaqinlashish alomatlarini keltiramiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
