|
(10)
tenglikning bajarilishi zarur va yetarli.
2-Teorema. (Koshi kriteriyasi).
(7)-funksional qatorning M
to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`lishi uchun quyidagi shartning
bajarilishi zarur va yetarli:
0
uchun
0
0
0
:
n
n
N
n
n
va
butun
0
p
hamda barcha
M
x
lar uchun
p
n
n
k
k
x
u
(11)
bo`ladi.
Natija. (Funksional qator yaqinlashishining zaruriy sharti).
Agar
(7)-funksional qator M to`plamda tekis yaqinlashsa, u holda shu to`plamda
0
x
u
n
bo`ladi.
3-Teorema. (Veyershtrass alomati).
Bizga
1
n
n
x
u
funksional va
1
n
n
a
,
0
n
a
(12)
sonli qator berilgan bolsin. Agar
M
x
uchun
,...
2
,
1
,
n
a
x
u
n
n
tengsizlik bajarilsa va (12)-sonli qator yaqinlashsa, unda
1
n
n
x
u
funksional qator M to`plamda absolut va tekis yaqinlashadi.
Aytaylik, ushbu
1
n
n
n
x
b
x
a
(13)
funksional qator berilgan bo`lsin.
4-Teorema. (Dirixle alomati).
Agar
1) har bir
M
x
uchun
x
a
n
monoton va M to`plamda
x
a
n
0 ga tekis
yaqinlashsa;
200
2)
n
k
k
n
x
b
x
B
1
qismiy
yig`indilar
M
to`plamda
birgalikda
chegaralangan ya`ni
K
M
x
K
x
B
n
bo`lsa, u holda (13)-qator M
to`plamda tekis yaqinlashadi.
5-Teorema. (Abel alomati).
Agar
1) har bir
M
x
uchun
x
a
n
monoton va
x
a
n
ketma-ketlik M
to`plamda chegaralangan;
2)
1
n
k
x
b
funksional qator M to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`lsa,
unda (13)-qator M to`plamda tekis yaqinlashadi.
3
0
Tekis yaqinlashuvchi funksional ketma-ketlik va qatorlarning
xossalari.
Funksional qatorlarda (ketma-ketliklarda) shuni ta`kidlash lozimki,
ularning har bir hadi uzluksiz bo`lgan taqdirda ham qatorning yig`indisi
(ketma-ketlikning limit funksiyasi) uzluksiz bo`lishi shart emas.
Misol.
0
2
2
1
n
n
x
x
funksional qator berilgan bo`lsin. Bu funksional
qatorda
,
1
2
2
C
x
x
x
u
n
n
. Berilgan qatorning yig`indisi
topamiz:
.
0
,
1
,
0
,
0
lim
1
1
...
1
1
1
1
2
0
2
2
2
2
2
x
x
x
x
S
x
S
x
x
x
x
x
x
S
n
k
n
n
n
k
n
Bu tenglikdan ko`rinadiki
1
1
lim
lim
2
0
0
x
x
S
x
x
va
x
S
S
0
0
funksiya
0
x
nuqtada uzluksiz emas. Berilgan qator uchun ushbu
0
0
0
0
lim
lim
n
n
x
n
n
x
x
u
x
u
munosabat o`rinli.
Tabiiy savol tug`iladi: qanday shartlar bajarilganda funksional
qatorlarda hadlab limitga o`tish, ularni hadlab differensiallash va
integrallash mumkin?
Bu savollarga quyidagi teoremalar javob beradi.
Bizga M to`plamda yaqinlashuvchi (7)-funksional qator berilgan
bo`lib, bu qatorning yig`indisi
x
S
bo`lsin.
201
1-Teorema.
Agar
N
n
uchun
M
C
x
u
n
bo`lib, (7)-qator M
to`plamda tekis yaqinlashsa,
M
C
x
S
bo`ladi, ya`ni
M
x
0
uchun
x
S
x
x
0
lim
1
0
0
1
1
0
0
lim
lim
n
n
n
n
x
x
n
n
x
x
x
S
x
u
x
u
x
u
tenglik bajariladi
.
Agar
M
to`plamda yaqinlashuvchi (1)-funksional ketma-ketlik
berilgan bo`lib,
x
f
funksiya uning limit funksiyasi bo`lsa, unda quyidagi
teorema o`rinli bo`ladi.
2-Teorema.
Agar
,..
2
,
1
,
n
M
C
x
f
n
bo`lib,
M
to`plamda
x
f
x
f
n
bo`lsa,
M
C
x
f
bo`ladi.
3-teorema
.
Agar
(7)-funksional
qator
M
to`plamda
tekis
yaqinlashuvchi va
0
x
nuqta M to`plamning limit nuqtasi bo`lib,
,...
2
,
1
lim
0
n
c
x
u
n
n
x
x
bo`lsa, u holda
1
2
1
...
...
т
n
т
c
с
с
с
qator ham yaqinlashuvchi, uning yig`indisi C esa
x
S
ning
0
x
x
dagi
limitiga teng bo`ladi:
x
S
x
x
0
lim
1
1
1
0
0
lim
lim
n
n
n
n
x
x
n
n
x
x
C
c
x
u
x
u
Faraz qilaylik,
b
a
,
kesmada yaqinlashuvchi (7)-funksional qator
berilgan bo`lib, uning yig`indisi
x
S
bo`lsin.
4-Teorema.
Agar (7)-qator
b
a
,
kesmada tekis yaqinlashuvchi
bo`lib,
,..
2
,
1
,
n
b
a
C
x
u
n
bo`lsa, u holda quyidagi
b
a
b
a
b
a
n
dx
x
u
dx
x
u
dx
x
u
2
1
qator ham yaqinlashuvchi va uning yig`indisi
b
a
dx
x
S
ga teng
bo`ladi:
b
a
n
b
a
n
b
a
n
n
dx
x
u
dx
x
u
dx
x
S
1
1
.
202
Izoh
.
4-teoremadagi (7)-qatorning tekis yaqinlashuvchanligi sharti
yetarli shart bo`lib, u zaruriy shart emas, ya`ni ba`zan tekis
yaqinlashmaydigan qatorlarni ham hadlab integrallash mumkin.
Misol.
1
0
1
1
2
1
1
2
1
x
x
x
k
n
n
funksional qator berilgan bo`lsin.
x
S
n
1
0
,
1
,
0
,
0
lim
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
x
x
x
x
S
x
S
x
x
x
x
n
n
n
n
k
n
n
x
S
n
1
,
0
da
)
(
x
S
ga
tekis
yaqinlashmaydi,
lekin
1
0
1
0
2
1
1
dx
x
dx
x
S
va
1
1
0
n
n
dx
x
u
1
1
1
1
1
0
1
2
1
1
2
1
1
1
1
lim
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
n
n
n
n
k
n
n
n
k
k
n
n
n
n
dx
x
x
.
2
1
1
1
1
lim
2
1
n
n
Demak,
1
1
0
1
0
2
1
n
n
dx
x
u
dx
x
S
, lekin
1
n
n
x
u
qator
1
,
0
kesmada
tekis yaqinlashmaydi.
5-Teorema.
Agar (7)-funksional qatorning har bir
x
u
n
hadi
b
a
,
kesmada uzluksiz
x
u
n
hosilaga ega bo`lib,
1
2
1
...
...
n
n
n
x
u
x
u
x
u
x
u
Do'stlaringiz bilan baham: |
