Umumlashgan funksiyalarning kasr tartibli integrallari. 1 F

UMUMLASHGAN FUNKSIYALARNING KASR TARTIBLI INTEGRALLARI.
1
F funksiyaning kasr tartibli integrallari tushunchasi
(1)
ko’rinishida aniqlanadi. Agar haqiqiy son bo’lsa, (1) tenglikni taqsimotlarni almashtirish nazariyasining umumlashgan funksiyalarning chegarasigacha kengaytirish mumkin. Nazariya amaliyotning ko’plab sohalalari uchun o’rinli, ammo tenglikni qanoatlantirmaydigan holatlar ham mavjud. Bunday holatlar asosan, o’zgaruvchining chegaralanmagan qiymatlarida integrallashdan oldin yoki keyin ko’paytirish zarurati tug’ilganda yuzaga keladi. Berilgan sohaning istalgan nuqtasida o’zgaruvchining kasr qiymatlari uchun ko’paytirish amali taqsimotlar nazariyasi uchun o’rinli bo’lmaydi.
Qo’shma operatorlar tushunchasiga asoslangan boshqa bir muqobil yondashuv mavjud. ning qo’shma operatori quyidagicha aniqlanadi:
(2)
Bu yerda haqiqiy son . [7] qismga ko’ra muayyan holatlarda biz kasr tartibli integrallar uchun quyidagi formulaga egamiz:
(3)
Yoki
(4)
(3), (4) formulalar umumlashgan funksyalarning mos sinfida ni topish uchun o’rinli bo’ladi. Funksiyala ning aniqlanish sohasi mavjud bo’ladigan va o’zgaruvchining kasr tartibli qiymatlari ko’paytmaga ega bo’ladigan qilib tanlanishi kerak.
Ushbu mavzu va u orqali ma'lum operatorlar uchun o'tkazilgan fraksiyonal integratsiya avvalgi maqolada [1] muallif va A. C. McBride tomonidan keltirilgan edi va oddiy funktsiyalar uchun, H. Kober tomonidan ishlab davom ettirilgan [3]. [1] yozilgandan keyin, janob McBridehas Kober operatorining umumlashtirilgan funktsiyalarning ayrim sinflari bo'yicha nazariyasini yanada rivojlantirdi. shuningdek, uning ba'zi bir ilovalarini yaratdi. Kober operatorlarida x ning darajalari orqali ko’paytirish va integrallash operatorni shu sinf ichidagi boshqa bir Lp(0, _{ }) ga tegishli bo’lgan funsiyaga o’tkazib olish usuli orqali aniqlanadi. Bu holatda operator boshqa vazifani bajaradi. Uning uchun cheksizlik munosabati o’rinli emas. F funksiya Lp(0, _{ }) oraliqda bo’lishi shart emas va f cheksiz sohada integrallanuvchi bo’lsa, f umumiy holda bunday xossaga ega bo’lmaydi; shuningdek boshqa tomondan f integrallanuvchi f lar uchun integralning boshlanish chegarasida qulay ko’rinishga ega bo’ladi.
Professor E. R Love [0,l] oraliqda integrallanuivchi har bir l>0 da qaraladigan uchun f funksiyaning sinfida operatorni o’rgangan. Aniqroq qilib aytganda f mavjud bo’lishi uchun shart bajarilishi kerak. Love agar bo’lsa ha bir uchun va da bo’lishini isbotlagan. U yana uchun ham yechimni [5] keltirib o’tgan. Bundan tashqari u sinfida daraja ko’rsatkichining birinchi xossasi

va ikkinchi xossasi

larni chuqur va batafsil o’rgangan.
Ushbu bo’limning maqsadi bu natijalarni umumlashgan funksiyalarning mos sinflariga qadar kengaytirishdan iborat. Muallif sinfda zarur bo’lgan bir nechta farqlar bilan tushuntirishga harakat qiladi. Umumlashgan funksiyalar turli xil bo’lganligi uchun hamma lar uchun aniqlangan bo’ladi va haqiqiy son yoki ga ko’ra farqlarni topishga zarurat bo’lmaydi. Shuningdek, cheksiz farqlanuvchi va zich qo’llab quvvatlashga ega sinov funksiyalari ustida ko’pgina texnik qadamlar amalga oshirildi; ular ko’p asoslashni talab etmaydi. Shuningdek, operatori davomiy va shuning uchun ma’lum tengsizliklar avtomatik ravishda ko’rsatiladi; bu tengsizliklar haligacha isbotlanmagan. Ammo nazariyasining ba’zi natijalari, hattoki eng chuqur tekshirilgan natijalar ham umumlashgan funksiyalar fazosini o’rganishni o’z ichiga ololmaydi. Masalan funksiya uchun da ning har qanday qiymatida mavjud va umumlashgan funksiyalar fazosiga tegishli ga qarashli bo’ladi. Lekin bu hol bo’lgan holda amal qilmaydi va ga tegishli bo’lgan funksiya sifatida mavjud bo’ladi. Shu sababli dastlabki natijalar Love erishgan natijalarga qaraganda biroz rivojlantirilgan bo’lsada yakuniy xulosaga olib kelmaydi.
2
Har bir haqiqiy p va musbat l sonlari uchun, [0,l] oraliqda olingan musbat haqiqiy o’zgaruvchi x ning kompleks qiymatli cheksiz o’zgaruvchi funksiyalar to’plamidan iborat shunday to’plam mavjudki, har bir nomanfiy butun k da
(2.1)
tenglik chegaralangan bo’ladi. sohada, yarim normalarning sinfida berilgan to’plam to’liq sanoqli ko’pnormalangan fazo bo’ladi va o’zgarmas haqiqiy p soni uchun

Tenglik to’liq qat’iy sanoqli birlashgan fazo bo’ladi. Shuningdek, Zemanian qayd etishicha [8, section 4.2], va har qanday uchun munosabat o’rinli.
Agar va bo’lsa, to’plam elementlarini to’plam elementlariga birga bir mos qo’yish davom etadi.
Haqiqiy qismi a ga teng bo’lgan istalgan kompleks sonni olaylik. da olingan operator quyidagicha aniqlanadi:

[1] bo’limda isbotlanganidek, operator q ning tengsizlini qanoatlantiradigan har qanday qiymatida ni ga uzluksiz akslantiradi. Agar bo’lsa akslantirish bir qiymatli va shu bilan birga izomorfiya(to’plam elementlari orasida 2 lik munosabatlarni saqlagan holda akslantirish) bo’ladi.
D operator quyidagicha aniqlanadi:

va holda bo’lganidek, D operaor ham ni ga bo’lgan hol uchun uzluksiz akslantiradi. [1] da keltirilgan namuna (counterexample - bu bayonotning shart(lar)ini qanoatlantiradigan, lekin xulosaga olib kelmaydigan misol.) ko’rsatadiki akslantirish bo’lgan hol uchun ham onto(bir qiymatli) bo’lmaydi.
orqali haqiqiy va musbat sonlar hamda ning haqiqiy qismi bo’lganda (1.2) orqali aniqlanadi. Agar

formula qismlariga ko’ra integrallansa integrallash atamasi yo’qoladi va quyidagiga ega bo’lamiz:

Bu esa hamma lar uchun tushunchasini kengaytirish mumkinligini ko’rsatadi. va ning haqiqiy qismi bo’lganda quyidagi tenglik o’rinli:

(2.3)
O’zgarmas uchun, ning to’la funksiyasi bo’ladi. Shuningdek
(2.4)
to’plamda, musbat x soni uchun aniq cheksiz o’zgaruvchan bo’ladi hamda sohada mavjud bo’lmaydi. Bundan tashqari,

bo’lganligi uchun, bo’lsa
.
da ,

Natijada, hamma k va lar uchun olingan ifoda yoki hamda va munosabatlar o’rinli bo’lishini ta’minlaydi.
Shunday qilib, ko’rishimiz mumkinki, agar bo’lsa ni ga, bo’lsa ga, bo’lsa har bir uchun ga uzluksiz akslantirish bo’ladi.
(2.3) tenglikka ko’ra

va shuningdek
(2.5)
tengliklar o’rinli bo’ladi.
Shuningdek, uchun ko’rsatkichli darajaning birinchi xossasiga ko’ra,

ifoda tenglikning chap qismidagi haqiqiy , sonlar uchun integrallash tartibini o’zgartirish va takroriy integral qoidalariga ko’ra zich to’plamdan tashqarida nol bo’ladigan har qanday uchun o’rinli bo’ladi. Bu munosabatni analitik davom ettirish yoki (2.3) va (2.4) formulalar orqali barcha va lar uchun ham qo’llash mumkin.
uchun (2.5) va (2.6) dan,
(2.7)
tenglik kelib chiqadi.
Biz hozir Kober operatorining ta’siri qandayligiga e’tobor qarataylik. Shunday tenglikni qanoatlantiradigan va hiqiqiy qismlari mos ravishda ga teng bo’lgan kompleks sonlar sonlarni va quyidagi operatorni qaraylik:
(2.8)
operator ni da o’ziga, da ga, da har bir uchun ga akslantiradi.
Kober operatyorlarini almashtirish. Bu holat Kober darsliklarida[3, 4-teorema, 2-qism] to’plamda ko’rsatilgan va Lovening [5, 3-teorema] to’plam sinfiga o’xshash. Yana ham to’liqroq bo’lishi uchun biz chegaralanmagan sohada formal operatorlarini asoslash osonroq bo’lishi uchun isbot keltiramiz chunki, barcha integrallar chekli qiymatda tugaydi.
shartlarni qanoatlantiruvchi kompleks sonlarni olaylik. Bu haqiqiy qismlari bo’lgan hol uchun quyidagi
(2.9)
tenglikni isbotlash uchun yetarli; barcha lar uchun yoyilma analitik davom ettirish yordamida hosil qilinadi. Shunday qilib

bundan

ekanligi kelib chiqadi
belgilash kiritib o’zgaruvchilarni almashtirsak, oxirgi integral

ko’rinishga keladi va tenglikning ko’rinishi quyidagicha ifodalanadi:

Uchlik kompleks sonlarda berilgan ning simmetrik ekanligi (2.9) tenglikni isbotlaydi.
Ko’rsatkichli darajaning ikkinchi xossasiga ko’ra hamda (2.6) va (2.9) tengliklardan ,
(2.10)
orqali ifodalanadi.

3